Considere a reta r no espaço \mathbb{R}^{3} que passa pelos pon \operatorname{tos} A=(1,0,2) e B=(3,-1,4).
(a) Escreva as equações paramétricas da reta r.
(b) Escreva as equações simétricas da reta r.
(c) Determine o ponto onde a reta r intercepta o plano x y(z=0).

Passo 1

O enunciado nos dá dois pontos que pertencem à reta r:
  • A=(1,0,2)
  • B=(3,-1,4)
O que o problema pede:
(a) Escrever as equações paramétricas da reta r.
(b) Escrever as equações simétricas da reta r.
(c) Determinar o ponto onde a reta r intercepta o plano xy (ou seja, onde z=0).
Informações relevantes fornecidas: as coordenadas dos pontos A e B acima. Nada mais é necessário para descrever a reta que passa por esses dois pontos.

Passo 2

Encontrar o vetor diretor da reta r.
Explicação rápida do procedimento: o vetor diretor \vec{v} de uma reta que passa por dois pontos A=(x_A,y_A,z_A) e B=(x_B,y_B,z_B) é dado por
\vec{v}= \overrightarrow{AB} = (x_B-x_A,\; y_B-y_A,\; z_B-z_A).
Aplicando aos pontos dados:
\vec{v}=\overrightarrow{AB}=(3-1,\; -1-0,\; 4-2)=(2,\; -1,\; 2).
Portanto o vetor diretor é \vec{v}=(2,-1,2).

Passo 3

Montar a equação vetorial paramétrica da reta.
Conceito: uma reta que passa por um ponto A=(x_A,y_A,z_A) com vetor diretor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) pode ser escrita na forma
\vec{r}(t)=\vec{A}+t\vec{v},
onde t\in\mathbb{R} é o parâmetro (cada valor de t dá um ponto da reta). Aqui \vec{A}=(1,0,2) e \vec{v}=(2,-1,2), então
\vec{r}(t)=(1,0,2)+t(2,-1,2).
Separando em coordenadas isso dá as equações paramétricas:
x=1+2t,\qquad y=0-1\cdot t=-t,\qquad z=2+2t,
com t\in\mathbb{R}.
Interpretação: para cada t as expressões acima dão as coordenadas (x,y,z) de um ponto da reta.

Passo 4

Passar das equações paramétricas para as equações simétricas.
Método: isolar t em cada equação e igualar as expressões obtidas. Das paramétricas temos:
t=\frac{x-1}{2},\qquad t=\frac{y-0}{-1}=\,-y,\qquad t=\frac{z-2}{2}.
Igualando essas três expressões obtemos as equações simétricas da reta:
\frac{x-1}{2}=\frac{y-0}{-1}=\frac{z-2}{2}.
Forma mais limpa (tirando o zero em cima de y):
\frac{x-1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{2}.
Observação didática: essas frações representam o mesmo parâmetro t. Não há problema em ter um denominador negativo; também se pode escrever \frac{x-1}{2}=-y=\frac{z-2}{2}.

Passo 5

Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano xy (plano onde z=0).
Procedimento: usar a equação paramétrica para impor z=0 e resolver para t.
Da equação paramétrica de z:
z=2+2t.
Impor z=0:
0=2+2t \quad\Rightarrow\quad 2t=-2 \quad\Rightarrow\quad t=-1.
Agora substituímos t=-1 nas equações de x e y:
x=1+2t=1+2(-1)=1-2=-1,
y=-t=-(-1)=1.
Logo o ponto de interseção é (-1,1,0).

Passo 6

Checagem rápida (consistência): verificar que (-1,1,0) satisfaz as simétricas. Calcular
\frac{x-1}{2}=\frac{-1-1}{2}=\frac{-2}{2}=-1,
\frac{y}{-1}=\frac{1}{-1}=-1,
\frac{z-2}{2}=\frac{0-2}{2}=\frac{-2}{2}=-1.
Todas iguais a -1, consistente com o parâmetro t=-1. Bom sinal de que os cálculos estão corretos.

Resposta

(a) x=1+2t,\\ y=-t,\\ z=2+2t,\\ t\in\mathbb{R}.
(b) \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-2}{2}.
(c) O ponto de interseção com o plano xy é (-1,1,0).

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