Utilizando o conceito de produto vetorial, resolva os seguintes problemas geométricos dados \vec{u}= (1,-1,2) e \vec{v}=(3,0,1) :
(a) Calcule \vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}.
(b) Verifique que \vec{w} é ortogonal simultaneamente a \vec{u} e a \vec{v}.
(c) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,-1,2) e \vec{v}=(3,0,1) e pede três coisas:
  • (a) calcular \vec{w}=\vec{u}\times\vec{v};
  • (b) verificar que \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v};
  • (c) calcular a área do triângulo determinado por \vec{u} e \vec{v}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Componentes de \vec{u}: u_1=1, u_2=-1, u_3=2.
  • Componentes de \vec{v}: v_1=3, v_2=0, v_3=1.

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do produto vetorial em coordenadas (fórmula que vou usar). Para dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é o vetor
\vec{u}\times\vec{v}=\big(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\big).
O que essa fórmula faz: cada componente do vetor resultante é uma combinação das componentes de \vec{u} e \vec{v} que corresponde ao determinante dos sub-blocos (é equivalente à expansão pelo método da matriz 3×3 com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}). Aqui:
  • a primeira componente é u_2 v_3 - u_3 v_2,
  • a segunda componente é u_3 v_1 - u_1 v_3,
  • a terceira componente é u_1 v_2 - u_2 v_1.

Passo 3

Agora aplico a fórmula com os valores dados, calculando cada componente passo a passo.
Primeira componente:
u_2 v_3 - u_3 v_2 = (-1)\cdot 1 - 2\cdot 0 = -1 - 0 = -1.
Segunda componente:
u_3 v_1 - u_1 v_3 = 2\cdot 3 - 1\cdot 1 = 6 - 1 = 5.
Terceira componente:
u_1 v_2 - u_2 v_1 = 1\cdot 0 - (-1)\cdot 3 = 0 - (-3) = 3.
Portanto o produto vetorial é
\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}=(-1,\,5,\,3).

Passo 4

Agora vamos verificar a ortogonalidade. Lembrete prático: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. Para vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Calculo \vec{u}\cdot\vec{w}:
\vec{u}\cdot\vec{w}=1\cdot(-1)+(-1)\cdot 5+2\cdot 3 = -1 -5 +6 = 0.
Como deu zero, \vec{w} é ortogonal a \vec{u}.
Calculo \vec{v}\cdot\vec{w}:
\vec{v}\cdot\vec{w}=3\cdot(-1)+0\cdot 5 +1\cdot 3 = -3 + 0 +3 = 0.
Também deu zero, então \vec{w} é ortogonal a \vec{v}.
(Isto é sempre verdade teoricamente: o produto vetorial de \vec{u} e \vec{v} é, por definição, ortogonal a ambos.)

Passo 5

Por fim, a área do triângulo formado por \vec{u} e \vec{v}. Conceito chave: o módulo (norma) do produto vetorial \|\vec{u}\times\vec{v}\| dá a área do paralelogramo gerado por \vec{u} e \vec{v}. Como o triângulo formado por esses vetores ocupa metade desse paralelogramo, a área do triângulo é
\text{Área do triângulo}=\tfrac{1}{2}\,\|\vec{u}\times\vec{v}\|.Áâ
Para calcular \|\vec{w}\| com \vec{w}=(-1,5,3), usamos a fórmula da norma:
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}=\sqrt{(-1)^2+5^2+3^2}=\sqrt{1+25+9}=\sqrt{35}.
Portanto a área do triângulo é
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\sqrt{35}.Á
Se quiser uma aproximação numérica, \tfrac{1}{2}\sqrt{35}\approx 2,958.

Resposta

(a) \vec{w} = (-1,\,5,\,3)\n
(b) Sim. \vec{u}\cdot\vec{w}=0 e \vec{v}\cdot\vec{w}=0\n
(c) \displaystyle \text{Área}=\tfrac{1}{2}\sqrt{35}Á

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