Utilizando o conceito de produto vetorial, resolva os seguintes problemas geométricos dados
e
:
(a) Calcule
.
(b) Verifique que
é ortogonal simultaneamente a
e a
.
(c) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores
e
.
(a) Calcule
(b) Verifique que
(c) Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede três coisas:
- (a) calcular
; - (b) verificar que
é ortogonal a e a ; - (c) calcular a área do triângulo determinado por
e .
Informações relevantes fornecidas:
- Componentes de
: , , . - Componentes de
: , , .
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática do produto vetorial em coordenadas (fórmula que vou usar). Para dois vetores
e
o produto vetorial
é o vetor
O que essa fórmula faz: cada componente do vetor resultante é uma combinação das componentes de
e
que corresponde ao determinante dos sub-blocos (é equivalente à expansão pelo método da matriz 3×3 com
). Aqui:
- a primeira componente é
, - a segunda componente é
, - a terceira componente é
.
Passo 3
Agora aplico a fórmula com os valores dados, calculando cada componente passo a passo.
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Portanto o produto vetorial é
Passo 4
Agora vamos verificar a ortogonalidade. Lembrete prático: dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar (dot product) entre eles for zero. Para vetores
e
,
Calculo
:
Como deu zero,
é ortogonal a
.
Calculo
:
Também deu zero, então
é ortogonal a
.
(Isto é sempre verdade teoricamente: o produto vetorial de
e
é, por definição, ortogonal a ambos.)
Passo 5
Por fim, a área do triângulo formado por
e
. Conceito chave: o módulo (norma) do produto vetorial
dá a área do paralelogramo gerado por
e
. Como o triângulo formado por esses vetores ocupa metade desse paralelogramo, a área do triângulo é
Para calcular
com
, usamos a fórmula da norma:
Portanto a área do triângulo é
Se quiser uma aproximação numérica,
.
Resposta
(a)
\n
(b) Sim. e
\n
(c)
(b) Sim.
(c)