Determine a equação cartesiana (geral) do plano \pi em cada um dos seguintes casos:
\pi passa pelos pontos A=(1,1,1), B= (2,0,-1) e C=(0,2,1).

Passo 1

O enunciado dá três pontos do plano \pi e pede a equação cartesiana (geral) do plano. Informações dadas:
  • Ponto A=(1,1,1).
  • Ponto B=(2,0,-1).
  • Ponto C=(0,2,1).
O que se pede:
  • Determinar a equação cartesiana (geral) do plano \pi que passa por A, B e C.

Passo 2

Ideia inicial (sem resolver ainda): dois vetores não colineares que estejam no plano permitem obter um vetor normal ao plano através do produto vetorial (cross product). Então primeiro obtenho vetores \vec{AB} e \vec{AC} a partir das coordenadas dos pontos.
Cálculo de \vec{AB} e \vec{AC}:
\vec{AB}=B-A=(2-1,\;0-1,\;-1-1)=(1,\,-1,\,-2).
\vec{AC}=C-A=(0-1,\;2-1,\;1-1)=(-1,\;1,\;0).

Passo 3

Explicando o conceito do produto vetorial: o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} entre dois vetores no espaço produz um vetor que é perpendicular (normal) a ambos. Esse vetor normal pode ser usado para escrever a equação do plano: se \vec{n} é um vetor normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é um ponto do plano, então todos os pontos (x,y,z) do plano satisfazem \vec{n}\cdot((x,y,z)-P_0)=0.
Vou calcular \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Usando a expressão do determinante em termos das componentes:
\vec{AB}\times\vec{AC}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & -1 & -2 \\\\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Calculando por cofatores:
  • Componente \mathbf{i}: (-1)\cdot 0 - (-2)\cdot 1 = 0 - (-2)=2.
  • Componente \mathbf{j}: 1\cdot 0 - (-2)\cdot(-1) = 0 - 2 = -2, e lembrando o sinal para \mathbf{j} (mínus), fica -(-2)=2.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot 1 - (-1)\cdot(-1) = 1 - 1 = 0.
Portanto
\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}=(2,\;2,\;0).
Observação sobre escala: qualquer múltiplo escalar de \vec{n} também é normal ao plano. Para simplificar podemos dividir por 2 e usar \vec{n}=(1,1,0) se quisermos.

Passo 4

Agora uso a fórmula da equação cartesiana do plano com vetor normal \vec{n}=(a,b,c) e ponto P_0=(x_0,y_0,z_0):
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui posso usar \vec{n}=(2,2,0) e o ponto A=(1,1,1). Substituindo:
2(x-1)+2(y-1)+0\cdot(z-1)=0.
Desenvolvendo:
2x-2+2y-2=0,
2x+2y-4=0.
Dividindo toda a equação por 2 (para ficar mais simples) obtém-se a forma reduzida.

Passo 5

Verificação rápida (importante na prova): substituir os pontos A, B e C na equação obtida para conferir que todos satisfazem.
  • Para A=(1,1,1): 2\cdot1+2\cdot1-4=0.
  • Para B=(2,0,-1): 2\cdot2+2\cdot0-4=0.
  • Para C=(0,2,1): 2\cdot0+2\cdot2-4=0.
Todos satisfazem, então a equação está correta.

Resposta

x+y-2=0

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