Considere
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado define a sequência dos somatórios parciais da série harmônica
e pede para provar que
não tem limite finito, mas cresce sem limite, isto é,
. Para isso, vamos usar o método de agrupamento de termos da série para compará-la com uma soma que diverge.
Passo 2
Agrupamos os termos de
em blocos cujos tamanhos dobram a cada etapa. Definimos, para
, o
-ésimo bloco como os termos de índice
Em cada bloco temos exatamente
parcelas, e cada parcela é no mínimo
, pois os denominadores vão de
até
. Logo, a soma do
-ésimo bloco satisfaz
Passo 3
Agora, consideremos o somatório até o índice
. Ele contém o primeiro termo isolado e
blocos completos a partir de
até
. Assim
Como
pode crescer sem limite quando
, segue que
.
Passo 4
Para valores gerais de
que não sejam potências de 2, basta notar que
é monotonicamente crescente (cada novo termo é positivo) e, para cada
, existe
tal que
. Então
e como
quando
, conclui-se que
.