Considere s_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}. Prove que \left(s_{n}\right) \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado define a sequência dos somatórios parciais da série harmônica
s_{n} \;=\; 1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \cdots + \tfrac1n \;=\;\sum_{k=1}^{n}\frac1k
e pede para provar que \bigl(s_{n}\bigr) não tem limite finito, mas cresce sem limite, isto é, \lim_{n\to\infty}s_{n}=\infty. Para isso, vamos usar o método de agrupamento de termos da série para compará-la com uma soma que diverge.

Passo 2

Agrupamos os termos de s_{n} em blocos cujos tamanhos dobram a cada etapa. Definimos, para m\ge1, o m-ésimo bloco como os termos de índice
2^{m-1}+1,\;2^{m-1}+2,\;\dots,\;2^m.
Em cada bloco temos exatamente 2^{m-1} parcelas, e cada parcela é no mínimo \tfrac1{2^m}, pois os denominadores vão de 2^{m-1}+1 até 2^m. Logo, a soma do m-ésimo bloco satisfaz
\sum_{k=2^{m-1}+1}^{2^m}\frac1k \;\ge\; 2^{m-1}\times\frac1{2^m} \;=\;\frac12.

Passo 3

Agora, consideremos o somatório até o índice n = 2^M. Ele contém o primeiro termo isolado e M blocos completos a partir de m=1 até m=M. Assim
s_{2^M} \;=\; 1 \;+\; \sum_{k=2}^{2^M}\frac1k \;=\; 1 \;+\; \sum_{m=1}^{M}\sum_{k=2^{m-1}+1}^{2^m}\frac1k \;\ge\; 1 \;+\; \sum_{m=1}^{M}\frac12 \;=\; 1 \;+\;\frac M2.
Como M pode crescer sem limite quando n=2^M\to\infty, segue que s_{2^M}\to\infty.

Passo 4

Para valores gerais de n que não sejam potências de 2, basta notar que s_n é monotonicamente crescente (cada novo termo é positivo) e, para cada n, existe M tal que 2^M\le n<2^{M+1}. Então
s_n \;\ge\; s_{2^M} \;\ge\; 1+\frac M2,
e como M\to\infty quando n\to\infty, conclui-se que s_n\to\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_{n}=\infty.

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