Considere um satélite de massa m que orbita o planeta de massa
. O satélite está em uma órbita elíptica de semieixo maior
, sendo
- Distância no periélio:
- Distância no afélio:
. Determine:
Prove que expressão da energia mecânica total
pode ser escrita como sendo:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (pega as fórmulas das distâncias do enunciado):
- Temos um satélite de massa
orbitando um planeta de massa . - A órbita é elíptica com semieixo maior
e excentricidade . - Distância no periélio:
. - Distância no afélio:
.
O enunciado pede que se prove que a energia mecânica total
do satélite pode ser escrita como
Passo 2
Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando bem cada coisa):
- Energia mecânica total: é a soma da energia cinética
com a energia potencial gravitacional . Para o satélite,
onde
é a velocidade do satélite no ponto considerado e
é a distância ao centro do planeta nesse ponto. Aqui
é a constante gravitacional universal.
- Momento angular específico (por unidade de massa): definimos
como
onde
é a velocidade angular. O módulo do momento angular por unidade de massa é constante numa órbita central (isso vem da conservação do momento angular). A relação entre
e a velocidade transversal é
Em pontos de periélio e afélio a velocidade radial é zero (são pontos de inversão radial), então
.
- Para simplificar as contas, é útil definir
. Assim .
Vou usar essas ideias: energia conservada (a mesma em todo ponto da órbita) e conservação do momento angular (que dá relação entre
,
,
).
Passo 3
Escrever a energia total nos pontos periélio e afélio, usando que ali a velocidade é puramente transversal:
No periélio (
) a velocidade é
. Então a energia total (a mesma constante
) é
No afélio (
) similarmente
Essas duas expressões valem e são iguais porque
é constante ao longo da órbita.
Passo 4
Eliminar
para obter uma relação envolvendo
,
,
e
.
Subtraindo a igualdade do afélio da do periélio (ou seja, igualando as duas expressões e movendo termos), obtemos
Fatorando
no lado direito, lembrando que
temos
Como
para elipse (salvo caso circular), o colchete deve ser zero. Assim
Cancelando
e isolando
obtemos
Passo 5
Substituir as fórmulas de
e
em termos de
e
para simplificar
.
Usando
e
, temos
e
Substituindo em
dá
Portanto encontramos a relação útil
Observação física rápida (sem provar aqui):
é o semilatus rectum da elipse, e a relação
é padrão para órbitas keplerianas.
Passo 6
Voltar à expressão de
em, por exemplo, periélio e substituir
para obter
em função de
(faça conta passo a passo).
A energia total no periélio era
Substituindo
e
,
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro reduzir a fração na primeira parcela:
Note que
Então a primeira parcela vira
A segunda parcela é
Agora juntamos as duas parcelas:
Colocando sobre o mesmo denominador
,
Mas
, então
Passo 7
Interpretar o resultado e escrever a forma final:
Encontramos que a energia mecânica total do satélite é
ou seja, a energia depende apenas do semieixo maior
da elipse (e não depende da excentricidade
explicitamente): órbitas elípticas com mesmo
têm a mesma energia total.
Se estiver nervoso: é normal — esse resultado é clássico em mecânica celeste e é muito útil na prova. Você já fez o mais difícil: seguir a conservação de energia e momento angular e usar as distâncias no periélio/afélio.