Considere um satélite de massa m que orbita o planeta de massa M. O satélite está em uma órbita elíptica de semieixo maior a, sendo
  • Distância no periélio: r_{p}=a(1-e)
  • Distância no afélio: r_{a}=a(1+e). Determine:
    (2,0) Prove que expressão da energia mecânica total E pode ser escrita como sendo:
\boldsymbol{E}=-\frac{\boldsymbol{G M m}}{\mathbf{2} \boldsymbol{a}} \quad, \text { sendo } a \text { o semieixo maior da elipse. }

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (pega as fórmulas das distâncias do enunciado):
  • Temos um satélite de massa m orbitando um planeta de massa M.
  • A órbita é elíptica com semieixo maior a e excentricidade e.
  • Distância no periélio: \,r_{p}=a(1-e)\,.
  • Distância no afélio: \,r_{a}=a(1+e)\,.
O enunciado pede que se prove que a energia mecânica total E do satélite pode ser escrita como
E=-\frac{G M m}{2 a}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicando bem cada coisa):
  • Energia mecânica total: é a soma da energia cinética K com a energia potencial gravitacional U. Para o satélite,
E = K + U = \tfrac{1}{2} m v^{2} - \frac{G M m}{r},
onde v é a velocidade do satélite no ponto considerado e r é a distância ao centro do planeta nesse ponto. Aqui G é a constante gravitacional universal.
  • Momento angular específico (por unidade de massa): definimos h como
h = r^{2}\dot\theta,
onde \dot\theta é a velocidade angular. O módulo do momento angular por unidade de massa é constante numa órbita central (isso vem da conservação do momento angular). A relação entre h e a velocidade transversal é
v_{\text{trans}} = \frac{h}{r}.
Em pontos de periélio e afélio a velocidade radial é zero (são pontos de inversão radial), então v=v_{\text{trans}}=h/r.
  • Para simplificar as contas, é útil definir \mu \equiv G M. Assim U=-\mu m/r.
Vou usar essas ideias: energia conservada (a mesma em todo ponto da órbita) e conservação do momento angular (que dá relação entre h, r_p, r_a).

Passo 3

Escrever a energia total nos pontos periélio e afélio, usando que ali a velocidade é puramente transversal:
No periélio ( r=r_p) a velocidade é v_p = h/r_p. Então a energia total (a mesma constante E) é
E = \tfrac{1}{2} m \left(\frac{h}{r_{p}}\right)^{2} - \frac{\mu m}{r_{p}}.
No afélio ( r=r_a) similarmente
E = \tfrac{1}{2} m \left(\frac{h}{r_{a}}\right)^{2} - \frac{\mu m}{r_{a}}.
Essas duas expressões valem e são iguais porque E é constante ao longo da órbita.

Passo 4

Eliminar E para obter uma relação envolvendo h^{2}, \mu, r_{p} e r_{a}.
Subtraindo a igualdade do afélio da do periélio (ou seja, igualando as duas expressões e movendo termos), obtemos
0 = \tfrac{1}{2} m\!\left(\frac{h^{2}}{r_{p}^{2}}-\frac{h^{2}}{r_{a}^{2}}\right) - \mu m\!\left(\frac{1}{r_{p}}-\frac{1}{r_{a}}\right).
Fatorando \left(\dfrac{1}{r_{p}}-\dfrac{1}{r_{a}}\right) no lado direito, lembrando que
\frac{1}{r_{p}^{2}}-\frac{1}{r_{a}^{2}}=\left(\frac{1}{r_{p}}-\frac{1}{r_{a}}\right)\left(\frac{1}{r_{p}}+\frac{1}{r_{a}}\right),
temos
0 = \left(\frac{1}{r_{p}}-\frac{1}{r_{a}}\right)\!\left[\tfrac{1}{2} m h^{2}\!\left(\frac{1}{r_{p}}+\frac{1}{r_{a}}\right) - \mu m\right].
Como \dfrac{1}{r_{p}}-\dfrac{1}{r_{a}}\neq 0 para elipse (salvo caso circular), o colchete deve ser zero. Assim
\tfrac{1}{2} m h^{2}\!\left(\frac{1}{r_{p}}+\frac{1}{r_{a}}\right) = \mu m.
Cancelando m e isolando h^{2} obtemos
h^{2} = \frac{2\mu}{\dfrac{1}{r_{p}}+\dfrac{1}{r_{a}}} = \frac{2\mu r_{p} r_{a}}{r_{p}+r_{a}}.

Passo 5

Substituir as fórmulas de r_{p} e r_{a} em termos de a e e para simplificar h^{2}.
Usando \,r_{p}=a(1-e) e \,r_{a}=a(1+e), temos
r_{p}+r_{a}=a(1-e)+a(1+e)=2a,
e
r_{p}r_{a}=a(1-e)\,a(1+e)=a^{2}(1-e^{2}).
Substituindo em h^{2}=\dfrac{2\mu r_{p} r_{a}}{r_{p}+r_{a}}
h^{2} = \frac{2\mu \, a^{2}(1-e^{2})}{2a} = \mu a(1-e^{2}).
Portanto encontramos a relação útil
h^{2}=\mu a(1-e^{2}).
Observação física rápida (sem provar aqui): a(1-e^{2}) é o semilatus rectum da elipse, e a relação h^{2}=\mu \times (\text{semilatus}) é padrão para órbitas keplerianas.

Passo 6

Voltar à expressão de E em, por exemplo, periélio e substituir h^{2} para obter E em função de a (faça conta passo a passo).
A energia total no periélio era
E = \tfrac{1}{2} m \frac{h^{2}}{r_{p}^{2}} - \frac{\mu m}{r_{p}}.
Substituindo h^{2}=\mu a(1-e^{2}) e r_{p}=a(1-e),
E = \tfrac{1}{2} m \cdot \frac{\mu a(1-e^{2})}{\bigl(a(1-e)\bigr)^{2}} - \frac{\mu m}{a(1-e)}.
Agora simplificamos passo a passo. Primeiro reduzir a fração na primeira parcela:
\frac{\mu a(1-e^{2})}{\bigl(a(1-e)\bigr)^{2}} = \frac{\mu (1-e^{2})}{a(1-e)^{2}}.
Note que
\frac{1-e^{2}}{(1-e)^{2}} = \frac{(1-e)(1+e)}{(1-e)^{2}} = \frac{1+e}{1-e}.
Então a primeira parcela vira
\tfrac{1}{2} m \cdot \frac{\mu(1+e)}{a(1-e)} = \frac{\mu m}{2a}\cdot\frac{1+e}{1-e}.
A segunda parcela é
\frac{\mu m}{a(1-e)}.
Agora juntamos as duas parcelas:
E = \frac{\mu m}{2a}\cdot\frac{1+e}{1-e} - \frac{\mu m}{a(1-e)}.
Colocando sobre o mesmo denominador \,2a(1-e)\,,
E = \frac{\mu m}{2a(1-e)}\bigl(1+e - 2\bigr) = \frac{\mu m}{2a(1-e)}(e-1).
Mas e-1=-(1-e), então
E = \frac{\mu m}{2a(1-e)}\cdot\bigl(-(1-e)\bigr) = -\frac{\mu m}{2a}.

Passo 7

Interpretar o resultado e escrever a forma final:
Encontramos que a energia mecânica total do satélite é
E = -\frac{\mu m}{2a} = -\frac{G M m}{2 a},
ou seja, a energia depende apenas do semieixo maior a da elipse (e não depende da excentricidade e explicitamente): órbitas elípticas com mesmo a têm a mesma energia total.
Se estiver nervoso: é normal — esse resultado é clássico em mecânica celeste e é muito útil na prova. Você já fez o mais difícil: seguir a conservação de energia e momento angular e usar as distâncias no periélio/afélio.

Resposta

E=-\frac{G M m}{2 a}

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