Um disco de momento de inércia I está suspenso por um fio de torção de constante de torção \kappa (kappa). O disco é rotacionado até um ângulo máximo \Theta_{m} e liberado no instante t=0. Considerando que a fase inicial do movimento é \varphi=0, apresente:
a) (1,0) A equação diferencial do movimento e a função horária do deslocamento angular \Theta(t), da velocidade angular \Omega(t) e da aceleração angular \alpha(t).
b) (1,0) Para um disco de I=0,1 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} que leva 2,0 segundos para realizar uma oscilação completa, o cálculo da constante de torção \kappa do fio. Se a amplitude angular for \Theta_{m}=0,5 \mathrm{rad}, qual a energia total do sistema? (Use \pi^{2} \approx 10 ).

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Momento de inércia do disco: I.
    • Constante de torção do fio: \kappa (kappa).
    • O disco é deslocado até uma amplitude angular máxima \Theta_{m} e liberado em t=0.
    • A fase inicial é \varphi=0.
    • No item (b) há valores numéricos: I=0{,}1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}, período da oscilação T=2{,}0\\ \mathrm{s} e amplitude \Theta_{m}=0{,}5\\ \mathrm{rad}. Foi pedido usar \pi^{2}\approx10.
  • O que o enunciado pede:
    a) Apresentar a equação diferencial do movimento e as funções horárias do deslocamento angular \Theta(t), da velocidade angular \Omega(t) e da aceleração angular \alpha(t), considerando \varphi=0.
    b) Calcular a constante de torção \kappa para os valores numéricos dados e, com \Theta_{m}=0{,}5\\ \mathrm{rad}, calcular a energia total do sistema.

Passo 2

Montar a equação do movimento (passo físico-matemático inicial).
  • Força de torção (torque) exercida pelo fio é proporcional ao ângulo e tem sentido restaurador. Em notação:
\tau = -\kappa\,\Theta.
Aqui \tau é o torque (momento de forças), \kappa é a constante de torção e \Theta é o deslocamento angular instantâneo.
  • A segunda lei da rotação (análogo de Newton F=ma) relaciona torque e aceleração angular:
I\,\alpha = \tau,
onde I é o momento de inércia e \alpha=\ddot{\Theta} é a aceleração angular.
  • Substituindo o torque:
I\,\ddot{\Theta} = -\kappa\,\Theta.
  • Rearranjando, obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem:
I\,\ddot{\Theta} + \kappa\,\Theta = 0.
Explicação breve dos símbolos usados:
  • I: momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (medida da “resistência” à mudança de rotação).
  • \Theta(t): deslocamento angular em função do tempo.
  • \ddot{\Theta}(t): segunda derivada de \Theta em relação ao tempo, ou aceleração angular.
  • \kappa: constante de torção (torque por unidade de ângulo).

Passo 3

Resolver a equação diferencial: reconhecer que é um movimento harmônico simples.
  • A equação
I\,\ddot{\Theta} + \kappa\,\Theta = 0
é da forma padrão de oscilador harmônico linear. A frequência angular natural \omega_{0} define-se por
\omega_{0}^{2}=\frac{\kappa}{I}, \qquad\text{ou}\qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}.
  • A solução geral (para movimento harmônico simples) é
\Theta(t)=A\cos(\omega_{0}t+\varphi),
onde A é a amplitude e \varphi é a fase inicial.

Passo 4

Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
  • Pelo enunciado: o disco é liberado a partir do deslocamento máximo \Theta(0)=\Theta_{m} e com velocidade angular inicial nula \dot{\Theta}(0)=0. Além disso foi dado \varphi=0.
  • Usando \Theta(0)=A\cos\varphi=\Theta_{m} e \varphi=0 temos A=\Theta_{m}. A condição \dot{\Theta}(0)= -A\omega_{0}\sin\varphi=0 é satisfeita por \varphi=0, consistente com o enunciado.
  • Portanto a solução particular é
\Theta(t)=\Theta_{m}\cos\!\bigl(\omega_{0}t\bigr) \qquad\text{com}\qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{I}}.

Passo 5

Obter as funções horárias da velocidade angular e da aceleração angular, derivando a solução.
  • Velocidade angular \Omega(t)=\dot{\Theta}(t). Derivando:
\Omega(t)=\dot{\Theta}(t)=-\Theta_{m}\,\omega_{0}\sin\!\bigl(\omega_{0}t\bigr).
Explicação curta: derivada de \cos é -\sin, e aparece o fator \omega_{0} pelo teorema da cadeia.
  • Aceleração angular \alpha(t)=\ddot{\Theta}(t). Derivando novamente:
\alpha(t)=\ddot{\Theta}(t)=-\Theta_{m}\,\omega_{0}^{2}\cos\!\bigl(\omega_{0}t\bigr).
Note que \alpha(t) = -(\kappa/I)\,\Theta(t), que reproduce a equação diferencial (consistência verificada).

Passo 6

Energia mecânica do sistema (parte conceitual necessária para o item (b)).
  • Energias envolvidas:
    • Energia cinética rotacional:
    K(t)=\tfrac{1}{2}\,I\,\Omega(t)^{2}.
    • Energia potencial elástica armazenada no fio (energia de torção):
    U(t)=\tfrac{1}{2}\,\kappa\,\Theta(t)^{2}.
  • Energia total (conservada, sem atrito):
E = K(t)+U(t) = \text{const}.
  • No instante de amplitude máxima \Theta=\Theta_{m} tem-se \Omega=0, logo a energia total é simplesmente
E = \tfrac{1}{2}\,\kappa\,\Theta_{m}^{2}.
Também, usando \kappa=I\omega_{0}^{2}, pode-se escrever E=\tfrac{1}{2}I\omega_{0}^{2}\Theta_{m}^{2}.

Passo 7

Resolver numericamente o item (b): cálculo de \kappa a partir do período e cálculo da energia total para \Theta_{m}=0{,}5\\ \mathrm{rad}.
  • Relação entre período T e \omega_{0}:
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}} \qquad\Rightarrow\qquad \omega_{0}=\frac{2\pi}{T}.
  • Então \kappa = I\,\omega_{0}^{2} = I\left(\frac{2\pi}{T}\right)^{2} = \frac{4\pi^{2}I}{T^{2}}.
  • Substituir os valores dados: I=0{,}1\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}} e T=2{,}0\\ \mathrm{s}. Usando \pi^{2}\approx10 temos 4\pi^{2}\approx 40.
    Cálculo:
\kappa = \frac{4\pi^{2}\,I}{T^{2}} \approx \frac{40\cdot 0{,}1}{(2{,}0)^{2}} = \frac{4{,}0}{4} =1{,}0.
Portanto
\kappa \approx 1{,}0\\ \mathrm{N\cdot m\,rad^{-1}}.
  • Energia total com \Theta_{m}=0{,}5\\ \mathrm{rad}:
E=\tfrac{1}{2}\,\kappa\,\Theta_{m}^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}0 \cdot (0{,}5)^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}25 =0{,}125\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Resumo rápido e encorajamento: as equações obtidas mostram que o sistema é um oscilador harmônico simples com frequência \omega_{0}=\sqrt{\kappa/I}; com os números dados a constante de torção dá 1{,}0\\ \mathrm{N\cdot m\,rad^{-1}} e a energia total é pequena, 0{,}125\\ \mathrm{J}. Você já tem as fórmulas prontas para usar em prova — respira fundo, vai dar certo!

Resposta

(a) I\,\ddot{\Theta}+\kappa\,\Theta=0.
\Theta(t)=\Theta_{m}\cos\!\bigl(\sqrt{\tfrac{\kappa}{I}}\,t\bigr),\qquad \Omega(t)=-\Theta_{m}\sqrt{\tfrac{\kappa}{I}}\;\sin\!\bigl(\sqrt{\tfrac{\kappa}{I}}\,t\bigr),\qquad \alpha(t)=-\Theta_{m}\tfrac{\kappa}{I}\cos\!\bigl(\sqrt{\tfrac{\kappa}{I}}\,t\bigr).
(b) \kappa=1{,}0\\ \mathrm{N\cdot m\,rad^{-1}}
(b) E=0{,}125\\ \mathrm{J}

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