Um disco de momento de inércia
está suspenso por um fio de torção de constante de torção
(kappa). O disco é rotacionado até um ângulo máximo
e liberado no instante
. Considerando que a fase inicial do movimento é
, apresente:
a)
A equação diferencial do movimento e a função horária do deslocamento angular
, da velocidade angular
e da aceleração angular
.
b)
Para um disco de
que leva 2,0 segundos para realizar uma oscilação completa, o cálculo da constante de torção
do fio. Se a amplitude angular for
, qual a energia total do sistema? (Use
).
a)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
-
Dados fornecidos:
- Momento de inércia do disco:
. - Constante de torção do fio:
(kappa). - O disco é deslocado até uma amplitude angular máxima
e liberado em . - A fase inicial é
. - No item (b) há valores numéricos:
, período da oscilação e amplitude . Foi pedido usar .
- Momento de inércia do disco:
-
O que o enunciado pede:
a) Apresentar a equação diferencial do movimento e as funções horárias do deslocamento angular, da velocidade angular e da aceleração angular , considerando .
b) Calcular a constante de torçãopara os valores numéricos dados e, com , calcular a energia total do sistema.
Passo 2
Montar a equação do movimento (passo físico-matemático inicial).
- Força de torção (torque) exercida pelo fio é proporcional ao ângulo e tem sentido restaurador. Em notação:
Aqui
é o torque (momento de forças),
é a constante de torção e
é o deslocamento angular instantâneo.
- A segunda lei da rotação (análogo de Newton
) relaciona torque e aceleração angular:
onde
é o momento de inércia e
é a aceleração angular.
- Substituindo o torque:
- Rearranjando, obtemos a equação diferencial linear de segunda ordem:
Explicação breve dos símbolos usados:
-
: momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (medida da “resistência” à mudança de rotação). -
: deslocamento angular em função do tempo. -
: segunda derivada de em relação ao tempo, ou aceleração angular. -
: constante de torção (torque por unidade de ângulo).
Passo 3
Resolver a equação diferencial: reconhecer que é um movimento harmônico simples.
- A equação
é da forma padrão de oscilador harmônico linear. A frequência angular natural
define-se por
- A solução geral (para movimento harmônico simples) é
onde
é a amplitude e
é a fase inicial.
Passo 4
Aplicar as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
-
Pelo enunciado: o disco é liberado a partir do deslocamento máximo
e com velocidade angular inicial nula . Além disso foi dado . -
Usando
e temos . A condição é satisfeita por , consistente com o enunciado. -
Portanto a solução particular é
Passo 5
Obter as funções horárias da velocidade angular e da aceleração angular, derivando a solução.
- Velocidade angular
. Derivando:
Explicação curta: derivada de
é
, e aparece o fator
pelo teorema da cadeia.
- Aceleração angular
. Derivando novamente:
Note que
, que reproduce a equação diferencial (consistência verificada).
Passo 6
Energia mecânica do sistema (parte conceitual necessária para o item (b)).
-
Energias envolvidas:
- Energia cinética rotacional:
- Energia potencial elástica armazenada no fio (energia de torção):
-
Energia total (conservada, sem atrito):
- No instante de amplitude máxima
tem-se , logo a energia total é simplesmente
Também, usando
, pode-se escrever
.
Passo 7
Resolver numericamente o item (b): cálculo de
a partir do período e cálculo da energia total para
.
- Relação entre período
e :
-
Então
-
Substituir os valores dados:
e . Usando temos .
Cálculo:
Portanto
- Energia total com
:
Passo 8
Resumo rápido e encorajamento: as equações obtidas mostram que o sistema é um oscilador harmônico simples com frequência
; com os números dados a constante de torção dá
e a energia total é pequena,
. Você já tem as fórmulas prontas para usar em prova — respira fundo, vai dar certo!
Resposta
(a)
(b)
(b)