4- ( 0,5 ponto) Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a uma temperatura de
e pressīo 1 atm . Considere a molécula como sendo esférica e de raio
.
Passo 1
O enunciado pede: estimar o livre caminho médio de uma molécula de ar nas condições dadas. Dados fornecidos:
- Temperatura:
. - Pressão:
. - A molécula é modelada como esfera de raio
.
O que se quer obter: o valor numérico do livre caminho médio
(em metros, e uma indicação em nm é útil).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
O livre caminho médio
é a distância média que uma molécula percorre entre duas colisões sucessivas. Uma expressão muito usada na teoria cinética dos gases, para partículas esféricas, é
onde:
-
é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por unidade de volume, em ); -
é a seção de choque eficaz entre duas moléculas (área efetiva de colisão, em ); - o fator
aparece porque as moléculas têm velocidades relativas e geometria estatística dos encontros.
Agora vou explicar cada termo e como calculá-lo com os dados do enunciado.
Passo 3
Seção de choque
e diâmetro da molécula.
Se a molécula é esférica com raio
, o diâmetro é
Duas esferas colidem se os centros se aproximarem a uma distância
, então a seção de choque é
Peguei o valor do raio a partir do enunciado:
. Logo
Passo 4
Densidade numérica
pelo gás ideal.
Para um gás ideal, a densidade numérica
é dada pela lei dos gases na forma microscópica
onde:
-
é a pressão (em ); -
é a temperatura absoluta (em ); -
é a constante de Boltzmann, cuja valor exato adotado aqui é .
Convertemos os dados:
Pressão em pascal (peguei a conversão 1 atm =
):
Então
Passo 5
Combinar as fórmulas em uma expressão direta para
.
Substituindo
em
obtemos, após simplificar,
E como
com
,
Agora vamos calcular numericamente cada peça (faço as contas mostrando etapas para você poder reproduzir sem calculadora avançada, em formato aproximado).
Passo 6
Cálculos numéricos passo a passo.
- Cálculo de
:
- Cálculo de
e :
- Multiplicar por
e por :
- Finalmente
:
Converter para nanômetros (
):
Passo 7
Interpretação rápida e checagem.
O valor obtido
(≈
) tem a ordem de grandeza esperada para o ar próximo das condições ambientais (algumas fontes dão valores da ordem de algumas dezenas de nanômetros a 1 atm). As pequenas diferenças entre valores tabelados vêm da escolha do diâmetro molecular efetivo e da temperatura exata. Você pode apresentar o resultado arredondado conforme o número de algarismos significativos desejado.
Força aí — isso já é suficiente para a prova: mostrou conversão de unidades, uso da equação, substituição e cálculo numérico.