4- ( 0,5 ponto) Estime o livre caminho médio de uma molécula de ar a uma temperatura de 35^{\circ} \mathrm{C} e pressīo 1 atm . Considere a molécula como sendo esférica e de raio 2 \times 10^{-10} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar o livre caminho médio de uma molécula de ar nas condições dadas. Dados fornecidos:
  • Temperatura: 35^\circ\mathrm{C}.
  • Pressão: 1\\ \mathrm{atm}.
  • A molécula é modelada como esfera de raio 2\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
O que se quer obter: o valor numérico do livre caminho médio \lambda (em metros, e uma indicação em nm é útil).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo).
O livre caminho médio \lambda é a distância média que uma molécula percorre entre duas colisões sucessivas. Uma expressão muito usada na teoria cinética dos gases, para partículas esféricas, é
\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma},
onde:
  • n é a densidade numérica de moléculas (número de moléculas por unidade de volume, em \mathrm{m^{-3}});
  • \sigma é a seção de choque eficaz entre duas moléculas (área efetiva de colisão, em \mathrm{m^2});
  • o fator \sqrt{2} aparece porque as moléculas têm velocidades relativas e geometria estatística dos encontros.
Agora vou explicar cada termo e como calculá-lo com os dados do enunciado.

Passo 3

Seção de choque \sigma e diâmetro da molécula.
Se a molécula é esférica com raio r, o diâmetro é
d=2r.
Duas esferas colidem se os centros se aproximarem a uma distância d, então a seção de choque é
\sigma=\pi d^{2}=\pi(2r)^{2}=4\pi r^{2}.
Peguei o valor do raio a partir do enunciado: r=2\times10^{-10}\\ \mathrm{m}. Logo
d=2r=4\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
\sigma=\pi d^{2}=\pi\,(4\times10^{-10})^{2}.

Passo 4

Densidade numérica n pelo gás ideal.
Para um gás ideal, a densidade numérica n é dada pela lei dos gases na forma microscópica
n=\frac{P}{k_B T},
onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{Pa});
  • T é a temperatura absoluta (em \mathrm{K});
  • k_B é a constante de Boltzmann, cuja valor exato adotado aqui é k_B=1,380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Convertemos os dados:
T = 35^\circ\mathrm{C}=35+273{,}15=308{,}15\\ \mathrm{K}.
Pressão em pascal (peguei a conversão 1 atm = 1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}):
P=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Então
n=\frac{1{,}01325\times10^{5}}{1{,}380649\times10^{-23}\times308{,}15}.

Passo 5

Combinar as fórmulas em uma expressão direta para \lambda.
Substituindo n em \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{2}\,n\,\sigma} obtemos, após simplificar,
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\sigma\,P}.
E como \sigma=\pi d^{2} com d=4\times10^{-10}\\ \mathrm{m},
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi d^{2} P}.
Agora vamos calcular numericamente cada peça (faço as contas mostrando etapas para você poder reproduzir sem calculadora avançada, em formato aproximado).

Passo 6

Cálculos numéricos passo a passo.
  1. Cálculo de k_B T:
k_B T = (1{,}380649\times10^{-23})\times308{,}15 \approx 4{,}254499\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
  1. Cálculo de d^{2} e \pi d^{2}:
d=4\times10^{-10}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad d^{2}= (4\times10^{-10})^{2}=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}},
\pi d^{2}\approx 3{,}14159265\times1{,}6\times10^{-19}\approx5{,}026548\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Multiplicar por \sqrt{2} e por P:
\sqrt{2}\approx1{,}41421356,
\sqrt{2}\,\pi d^{2}\approx1{,}41421356\times5{,}026548\times10^{-19}\approx7{,}106335\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
\sqrt{2}\,\pi d^{2}\,P \approx 7{,}106335\times10^{-19}\times1{,}01325\times10^{5} \approx7{,}200998\times10^{-14}\\ (\text{unidade: }\mathrm{m^{2}\,Pa}).
  1. Finalmente \lambda:
\lambda=\frac{k_B T}{\sqrt{2}\,\pi d^{2} P} \approx\frac{4{,}254499\times10^{-21}}{7{,}200998\times10^{-14}} \approx5{,}90625\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
\lambda\approx59{,}06\\ \mathrm{nm}.

Passo 7

Interpretação rápida e checagem.
O valor obtido \lambda\approx5,9\times10^{-8}\\ \mathrm{m} (≈ 59\\ \mathrm{nm}) tem a ordem de grandeza esperada para o ar próximo das condições ambientais (algumas fontes dão valores da ordem de algumas dezenas de nanômetros a 1 atm). As pequenas diferenças entre valores tabelados vêm da escolha do diâmetro molecular efetivo e da temperatura exata. Você pode apresentar o resultado arredondado conforme o número de algarismos significativos desejado.
Força aí — isso já é suficiente para a prova: mostrou conversão de unidades, uso da equação, substituição e cálculo numérico.

Resposta

\lambda\approx5{,}9\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\;(\approx59\\ \mathrm{nm})

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