Considere um satélite percorrendo uma órbita elíptica em torno da Terra. Em seu ponto inferior (perigeu) ele está a uma altura de 400 km acima da superfície terrestre e em seu ponto superior (apogeu) ele está a 4000 km de altura.
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra a partir do acionamento de seus propulsores enquanto ele se encontra no perigeu da sua órbita, qual deve ser o aumento de velocidade proporcionado? E se tal acionamento acontecer no apogeu?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória elíptica. No ponto mais próximo da Terra (perigeu), ele está a 400 km da superfície, e no ponto mais distante (apogeu), a 4000 km de altura. O que a gente precisa descobrir é quanto o satélite precisa aumentar sua velocidade no perigeu e no apogeu para escapar da atração gravitacional da Terra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica orbital e velocidade de escape.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as distâncias do satélite até o centro da Terra nos pontos de perigeu e apogeu. Para isso, precisamos somar a altura do satélite com o raio da Terra. Sabemos que o raio médio da Terra é aproximadamente
km.
Então:
- Perigeu:
km - Apogeu:
km
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade orbital do satélite nesses pontos. A velocidade orbital em uma órbita elíptica no perigeu e no apogeu pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ) -
é a massa da Terra ( ) -
é a distância do centro da Terra no ponto considerado -
é o semi-eixo maior da órbita elíptica
Primeiro, precisamos encontrar
, que é a média das distâncias de perigeu e apogeu:
Convertendo para metros:
Agora, calculamos as velocidades:
- Velocidade no Perigeu (
):
Calculando isso, encontramos
km/s.
- Velocidade no Apogeu (
):
Calculando isso, encontramos
km/s.
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade de escape nesses pontos. A velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para um objeto escapar da atração gravitacional sem propulsão adicional. A fórmula para a velocidade de escape é:
Vamos calcular em ambos os pontos:
- Velocidade de escape no Perigeu (
):
- Velocidade de escape no Apogeu (
):
Passo 5
Agora que temos as velocidades orbitais e as velocidades de escape nos dois pontos, vamos calcular o aumento de velocidade necessário (
) para que o satélite possa escapar da Terra.
A diferença entre a velocidade de escape e a velocidade orbital nos dá o
:
- No Perigeu:
- No Apogeu:
Resposta
Para que o satélite escape da atração gravitacional da Terra, ele deve aumentar sua velocidade em aproximadamente 3.47 km/s quando acionado no perigeu e em 5.46 km/s quando acionado no apogeu.