Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a nave Apollo 8 que entrou em órbita circular ao redor da Lua, a uma altitude de 113 km da superfície, com um período de 1 hora e 59 minutos. Sabemos que o raio da Lua é de 1.738 km. A matéria que vamos usar aqui é a Mecânica Orbital, especificamente as fórmulas para órbitas circulares e velocidade de escape. Vamos precisar das fórmulas para calcular a massa da Lua a partir do período orbital e, depois, comparar a velocidade de escape da Lua com a da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o período orbital de horas e minutos para segundos, porque nas fórmulas usamos o tempo em segundos.
Sabemos que:
1 hora = 3600 segundos
59 minutos = 59 times 60 = 3540 segundos
Então, o período total T = 1 times 3600 + 3540 = 7140 segundos é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a massa da Lua usando a fórmula do período orbital para uma órbita circular:
T = 2pi raizR^3G M
Onde:
  • R = 1738 , km + 113 , km = 1851 , km = 1,851 times 10^6 , m é o período orbital,
  • M = 4pi^2 R^3G T^2 é o raio da órbita (soma do raio da Lua e da altitude),
  • M = 4pi^2 (1,851 times 10^6)^36,674 times 10^-11 times (7140)^2 é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa da Lua.
Primeiro, calculamos o raio total da órbita :
Rearranjando a fórmula para achar :
Plugando os valores:
Fazendo as contas, obtemos a massa da Lua.

Passo 4

Com a massa da Lua calculada, vamos determinar a velocidade de escape da Lua usando a fórmula:
vesc = raiz2 G MR
Onde:
  • é a velocidade de escape,
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Lua,
  • é o raio da Lua ( ).
Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar .

Passo 5

Para comparar, precisamos da velocidade de escape da Terra. A fórmula é a mesma:
vesc, Terra = raiz2 G MTerraRTerra
Sabemos que:
  • ,
  • .
Calculando essa fórmula, encontramos .

Passo 6

Agora, vamos estabelecer a relação entre as velocidades de escape da Terra e da Lua:
vesc, Terravesc, Lua
Substituindo os valores que calculamos nos passos anteriores, teremos a relação desejada.

Resposta

A velocidade de escape da Terra é aproximadamente 5,45 vezes maior que a velocidade de escape da Lua.

Exercícios relacionados