Em 1968, a nave espacial Apollo 8 foi colocada numa órbita circular em torno da Lua, a uma altitude de 113 km acima da superfície. O período observado dessa órbita foi de 1 hora e 59 minutos. Sabendo que o raio da Lua é de 1.738 km , utilize esses dados para calcular:
A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.
A relação entre velocidade de escape da Terra e da Lua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a nave Apollo 8 que entrou em órbita circular ao redor da Lua, a uma altitude de 113 km da superfície, com um período de 1 hora e 59 minutos. Sabemos que o raio da Lua é de 1.738 km. A matéria que vamos usar aqui é a Mecânica Orbital, especificamente as fórmulas para órbitas circulares e velocidade de escape. Vamos precisar das fórmulas para calcular a massa da Lua a partir do período orbital e, depois, comparar a velocidade de escape da Lua com a da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o período orbital de horas e minutos para segundos, porque nas fórmulas usamos o tempo em segundos.
Sabemos que:
Então, o período total
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a massa da Lua usando a fórmula do período orbital para uma órbita circular:
Onde:
-
é o período orbital, -
é o raio da órbita (soma do raio da Lua e da altitude), -
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa da Lua.
Primeiro, calculamos o raio total da órbita
:
Rearranjando a fórmula para achar
:
Plugando os valores:
Fazendo as contas, obtemos a massa da Lua.
Passo 4
Com a massa da Lua calculada, vamos determinar a velocidade de escape da Lua usando a fórmula:
Onde:
-
é a velocidade de escape, -
é a constante gravitacional, -
é a massa da Lua, -
é o raio da Lua ( ).
Vamos substituir os valores na fórmula para encontrar
.
Passo 5
Para comparar, precisamos da velocidade de escape da Terra. A fórmula é a mesma:
Sabemos que:
-
, -
.
Calculando essa fórmula, encontramos
.
Passo 6
Agora, vamos estabelecer a relação entre as velocidades de escape da Terra e da Lua:
Substituindo os valores que calculamos nos passos anteriores, teremos a relação desejada.
Resposta
A velocidade de escape da Terra é aproximadamente 5,45 vezes maior que a velocidade de escape da Lua.