Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
stackrel1V=(1.1+2.8 x+0.65 y) stackrel1i+(0.98-2.1 x-2.8 y) ^1 dotj
Determine:
Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;

Passo 1

Beleza! A gente tem um escoamento bidimensional e estacionário, onde
Vx(x,y)=1.1+2.8,x+0.65,y, Vy(x,y)=0.98-2.1,x-2.8,y
O assunto aqui é CINEMÁTICA DE FLUIDOS: a gente vai usar o gradiente de velocidade pra decompor o movimento de um flui­dinho em quatro “modinhos”:
  1. translação (a velocidade do ponto),
  2. rotação rígida (spin),
  3. deformação linear (dilatação volumétrica),
  4. deformação por cisalhamento.
    Vamos precisar de derivadas parciais como , etc., e as fórmulas-padrão do tensor de deformação e do tensor de rotação.

Passo 2

Translação é só a própria velocidade no ponto oTaxa de translação: V(x,y) =;Vx,i+Vy,j =(1.1+2.8,x+0.65,y),i+(0.98-2.1,x-2.8,y),j . Ou seja,
Não tem mistério: é o deslocamento “rigido” do centro do elemento.

Passo 3

Na cinemática, a rotação instantânea (spin) em 2D é dada por
omegaz =tfrac12l(partial Vypartial x-partial Vxpartial yr)
Vamos às derivadas:
omegaz =tfrac12(-2.1-0.65) =tfrac12(-2.75) =-1.375 (s^-1) e
.
Logo
O sinal negativo indica giro horário.

Passo 4

A taxa de variação de volume por unidade de volume é
theta =nablacdotV =partial Vxpartial x +partial Vypartial y
Aqui theta=2.8+(-2.8)=0 e .
Então
Ou seja, não há mudança de área (escoamento incompressível localmente).

Passo 5

A taxa de cisalhamento (componente exy =tfrac12l(partial Vxpartial y+partial Vypartial xr) =tfrac12(0.65 + (-2.1)) =tfrac12(-1.45) =-0.725 (s^-1) ) é
Esse valor mede como o elemento “encurva” em forma de losango.

Resposta

Taxa de translação
Taxa de rotação (spin)
Deformação linear (dilatação)
Deformação por cisalhamento

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