Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
Determine:
Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;
Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;
Passo 1
Beleza! A gente tem um escoamento bidimensional e estacionário, onde
O assunto aqui é CINEMÁTICA DE FLUIDOS: a gente vai usar o gradiente de velocidade pra decompor o movimento de um fluidinho em quatro “modinhos”:
- translação (a velocidade do ponto),
- rotação rígida (spin),
- deformação linear (dilatação volumétrica),
- deformação por cisalhamento.
Vamos precisar de derivadas parciais como, etc., e as fórmulas-padrão do tensor de deformação e do tensor de rotação.
Passo 2
Translação é só a própria velocidade no ponto
. Ou seja,
Não tem mistério: é o deslocamento “rigido” do centro do elemento.
Passo 3
Na cinemática, a rotação instantânea (spin) em 2D é dada por
Vamos às derivadas:
e
.
Logo
Logo
O sinal negativo indica giro horário.
Passo 4
A taxa de variação de volume por unidade de volume é
Aqui
e
.
Então
Então
Ou seja, não há mudança de área (escoamento incompressível localmente).
Passo 5
A taxa de cisalhamento (componente
) é
Esse valor mede como o elemento “encurva” em forma de losango.
Resposta
Taxa de translação
Taxa de rotação (spin)
Deformação linear (dilatação)
Deformação por cisalhamento
Taxa de rotação (spin)
Deformação linear (dilatação)
Deformação por cisalhamento