- Considere o seguinte campo de velocidade tridimensional e estacionário, calcule o vetor vorticidade como uma função do espaço (
).
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade estacionário tridimensional
com componentes (estou copiando os valores do enunciado):
A pergunta é: calcular o vetor vorticidade como função do espaço
. Ou seja, encontrar
.
Passo 2
O que é vorticidade na prática (fórmula que vamos usar).
A vorticidade é definida como o rotacional (curl) do campo de velocidade:
A vorticidade
Em componentes, usando a base
, as componentes da vorticidade são:
Explicando rápido:
significa “derivar em relação a
mantendo
constantes”, e assim por diante. Vamos calcular cada derivada parcial do campo.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
,
e
.
Para
:
Motivo: derivada de
é
, de
é
, e de
em relação a
é
; não há dependência em
.
Para
:
Motivo: termos lineares em
e
; nenhuma dependência em
.
Para
:
Motivo: ao derivar em
tratamos
como constante, então fica
, etc.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Calcular
:
Substituindo:
Passo 6
Calcular
:
Substituindo:
Passo 7
Montar o vetor vorticidade reunindo as componentes calculadas. Podemos escrever em notação vetorial:
Substituindo:
Brete rápido de interpretação (útil na prova): a componente
é constante (
), enquanto
e
variam linearmente com
e
. Isso significa rotação local cujo componente em
é uniforme e as componentes nas direções
crescem linearmente com as coordenadas.