1. Considere o seguinte campo de velocidade tridimensional e estacionário, calcule o vetor vorticidade como uma função do espaço ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ).
\begin{aligned} \vec{V} & =(u, v, w) \\\ & =(3.0+2.0 x-y) \vec{i}+(2.0 x-2.0 y) \vec{j}+(0.5 x y) \vec{k} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade estacionário tridimensional \vec{V}=(u,v,w) com componentes (estou copiando os valores do enunciado):
u = 3,0 + 2,0\,x - y, \qquad v = 2,0\,x - 2,0\,y, \qquad w = 0,5\,x\,y.
A pergunta é: calcular o vetor vorticidade como função do espaço (x,y,z). Ou seja, encontrar \vec{\omega}(x,y,z).

Passo 2

O que é vorticidade na prática (fórmula que vamos usar).
A vorticidade \vec{\omega} é definida como o rotacional (curl) do campo de velocidade:
\vec{\omega} = \nabla \times \vec{V}.
Em componentes, usando a base \{\vec{i},\vec{j},\vec{k}\}, as componentes da vorticidade são:
\omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z},
\omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x},
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Explicando rápido: \dfrac{\partial}{\partial x} significa “derivar em relação a x mantendo y,z constantes”, e assim por diante. Vamos calcular cada derivada parcial do campo.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u, v e w.
Para u = 3,0 + 2,0\,x - y:
\frac{\partial u}{\partial x} = 2,0, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -1, \qquad \frac{\partial u}{\partial z} = 0.
Motivo: derivada de 3,0 é 0, de 2,0\,x é 2,0, e de -y em relação a y é -1; não há dependência em z.
Para v = 2,0\,x - 2,0\,y:
\frac{\partial v}{\partial x} = 2,0, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = -2,0, \qquad \frac{\partial v}{\partial z} = 0.
Motivo: termos lineares em x e y; nenhuma dependência em z.
Para w = 0,5\,x\,y:
\frac{\partial w}{\partial x} = 0,5\,y, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} = 0,5\,x, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
Motivo: ao derivar em x tratamos y como constante, então fica 0,5\,y, etc.

Passo 4

Calcular \omega_x usando a fórmula:
\omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z}.
Substituindo as derivadas que encontramos:
\omega_x = 0,5\,x - 0 = 0,5\,x.

Passo 5

Calcular \omega_y:
\omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x}.
Substituindo:
\omega_y = 0 - 0,5\,y = -0,5\,y.

Passo 6

Calcular \omega_z:
\omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.
Substituindo:
\omega_z = 2,0 - (-1) = 3,0.

Passo 7

Montar o vetor vorticidade reunindo as componentes calculadas. Podemos escrever em notação vetorial:
\vec{\omega}(x,y,z)=\omega_x\,\vec{i}+\omega_y\,\vec{j}+\omega_z\,\vec{k}.
Substituindo:
\vec{\omega}(x,y,z) = 0,5\,x\,\vec{i} - 0,5\,y\,\vec{j} + 3,0\,\vec{k}.
Brete rápido de interpretação (útil na prova): a componente \omega_z é constante ( 3,0), enquanto \omega_x e \omega_y variam linearmente com x e y. Isso significa rotação local cujo componente em z é uniforme e as componentes nas direções x,y crescem linearmente com as coordenadas.

Resposta

\vec{\omega}(x,y,z)=0,5\,x\,\vec{i}-0,5\,y\,\vec{j}+3,0\,\vec{k}

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