1. Determine a série de Taylor T_{a} f(x) da função f(x) em torno do ponto x=a e determine o raio de convergência da série. Decida se em cada caso vale a igualdade T_{a} f=f.

Passo 1

O enunciado pede três coisas para uma função f em torno de um ponto a:
  • determinar a série de Taylor T_a f(x) (ou seja, os coeficientes e a soma formal \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n);
  • determinar o raio de convergência dessa série;
  • decidir se, no intervalo (ou conjunto) de convergência, vale a igualdade T_a f=f (isto é, se a soma da série coincide com a função original).
Informações fornecidas pelo enunciado que eu tenho aqui: apenas a instrução genérica acima. Dados que faltam (e são essenciais): a função concreta f e o ponto concreto a. Sem esses dados não há como calcular uma série específica. Portanto não posso produzir uma série explícita nem o seu raio para um caso concreto.

Passo 2

Mesmo sem função concreta, vou te mostrar exatamente o que fazer passo a passo quando você tiver f e a. Primeiro, a definição padrão da série de Taylor centrada em a:
T_a f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n.
Explicando cada peça:
  • f^{(n)}(a) é a n-ésima derivada de f avaliada em x=a. Para n=0 usamos f^{(0)}(a)=f(a).
  • n! é o fatorial de n.
  • (x-a)^n é a potência centrada no ponto a.
Regra prática: para escrever os coeficientes calcule f(a), f'(a), f''(a), etc., identifique um padrão para \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} e escreva a soma.

Passo 3

Como determinar o raio de convergência R. Duas ferramentas principais:
  1. Fórmula geral (raiz superior dos coeficientes):
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\right|}}.
Isto te dá R a partir do comportamento assintótico dos coeficientes. Em prática, muitas vezes usa-se a forma equivalente pelo teste da razão quando aplicável:
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| \quad\text{onde}\quad a_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!},
se o limite existir.
  1. Método prático via análise de singularidades (quando f estende-se a função complexa): o raio R é a distância de a até a singularidade complexa mais próxima de f. Ex.: para f(x)=\dfrac{1}{1-x} centrada em a=0, a singularidade está em x=1, então R=1.

Passo 4

Quando vale T_a f=f? Conceito e critério prático:
  • Se a série de Taylor converge para f(x) em alguma vizinhança de a (ou em todo o intervalo de convergência), dizemos que f é analítica (ou real-analítica) em a. Uma condição suficiente é que o resto de Taylor na forma de Lagrange tenda a zero:
R_N(x)=\frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}(x-a)^{N+1}
para algum \xi no intervalo entre a e x; se R_N(x)\to0 quando N\to\infty para todo x com |x-a|<R, então T_a f(x)=f(x) nessa vizinhança.
  • No entanto, existem funções infinitamente diferenciáveis (classe C^\infty) cuja série de Taylor não representa a função (exemplo clássico abaixo). Portanto diferenciabilidade infinita não garante igualdade com a série — é preciso analiticidade.

Passo 5

Técnicas úteis para encontrar a série na prova (truques com exemplos):
  • usar séries conhecidas e manipular (soma, derivação, integração, substituição x\mapsto x-a);
  • lembrar séries padrão (todas centradas em 0, e depois trocar x por x-a): \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,\quad |x|<1;
e^{x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!},\quad \text{tudo }x;
\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n},\quad |x|<1;
e assim por diante.
  • para funções centradas em a use a mudança u=x-a e expanda em u.

Passo 6

Exemplos resolvidos, para fixar a técnica (faça esses passos na prova se cair um desses casos):
Exemplo A — f(x)=e^x\) em torno de \(a\): - \(f^{(n)}(a)=e^a\) para todo \(n\). - Coeficientes: \(\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}=\dfrac{e^a}{n!}\). - Série: \[T_a f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{e^a}{n!}(x-a)^n=e^a\sum_{n=0}^\infty\frac{(x-a)^n}{n!}=e^a e^{\,x-a}=e^x.
  • Raio de convergência: R=\infty (a série de e^x converge para todo x).
  • Igualdade: vale T_a f=f para todo x.
Exemplo B — f(x)=\dfrac{1}{1-x} em a=0:
  • f^{(n)}(0)=n!.
  • Série: T_0 f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n,\quad |x|<1.
  • Raio: R=1 (singularidade em x=1).
  • Igualdade: a soma da série é f(x) para |x|<1. Nos extremos do intervalo a convergência precisa ser verificada caso a caso.
Exemplo C — função C^\infty mas não analítica: defina
f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2}, & x\ne0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
  • Para todo n\] tem-se \(f^{(n)}(0)=0.
  • Assim a série de Taylor centrada em 0 é a série nula: T_0 f(x)=\sum_{n=0}^\infty 0\cdot x^n=0.
  • Raio de convergência: os coeficientes todos zero dão R=\infty (a série nula converge para todo x).
  • Igualdade: não vale T_0 f=f para x\ne0 porque f(x)>0 quando x\ne0. Isso mostra que ser C^\infty não garante que f seja igual à sua série de Taylor.]

Passo 7

Como proceder rápido na prova, checklist prático:
  1. Verifique se f tem derivadas de todas as ordens em a. Se não tiver, a série de Taylor não existe no sentido usual.
  2. Calcule f^{(n)}(a) para n=0,1,2,\dots até identificar um padrão. Escreva a_n=\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}.
  3. Escreva T_a f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n.
  4. Use o teste da razão ou a fórmula do \limsup para encontrar R; se souber onde f tem singularidades complexas, calcule R como a menor distância de a até essas singularidades.
  5. Para decidir se T_a f=f: avalie o resto de Taylor R_N(x) (forma de Lagrange ou outra) e veja se tende a zero para |x-a|<R. Se puder usar extensão holomorfa ao plano complexo: se f é restrição à reta real de uma função holomorfa numa bola complexa de raio R então f é analítica e T_a f=f em |x-a|<R.

Passo 8

Observações que salvam na prova (e dão pontos extras):
  • Se o enunciado pede apenas a série (não o restante), às vezes é mais rápido usar séries conhecidas e fazer substituições do que calcular muitas derivadas.
  • Sempre escreva explicitamente a região de validade (por exemplo, |x-a|<R) e verifique os extremos separadamente se necessário.
  • Quando o exercício pergunta se vale T_a f=f, explique se isto é verdadeiro por analiticidade (ou dê um contraexemplo se achar que não vale).

Passo 9

Resumo final do que eu podia fazer aqui e do que você pode me pedir a seguir:
  • Eu não calculei uma série específica porque não foi dada a função f nem o ponto a.
  • Se você me enviar um enunciado com a função f e o ponto a (ou uma lista de funções), eu aplico exatamente os passos acima, calculo a série termo a termo, o raio de convergência e demonstro se a igualdade T_a f=f vale — tudo com contas detalhadas e explicadas para você conseguir reproduzir na prova.

Resposta

Não é possível determinar a série de Taylor nem o raio de convergência porque a função f e o ponto a não foram fornecidos.

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