1. Usando séries, calcule os seguinte limites indeterminados:
b) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x-x+\left(x^{3} / 6\right)}{x^{5}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x - x + \left(x^{3}/6\right)}{x^{5}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável é x e a aproximação é \,x\to 0.
  • O numerador é \operatorname{sen} x - x + x^{3}/6.
  • O enunciado indica “usando séries” (ou seja, usar a expansão em série de Taylor/Maclaurin de \operatorname{sen} x ao redor de 0).

Passo 2

Apresentar a série de Maclaurin da função \operatorname{sen} x e explicar cada termo.
A série de Maclaurin de \operatorname{sen} x é a expansão em potências de x em torno de 0. A fórmula geral é
\operatorname{sen} x=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Aqui:
  • n é o índice da soma (inteiro não negativo),
  • (2n+1)! é o fatorial de 2n+1 (por exemplo, 5!=120),
  • cada termo (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} representa a parcela de grau 2n+1 na expansão.
Escrevendo os primeiros termos (suficientes para nosso limite):
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \cdots
Substituindo os fatoriais:
\operatorname{sen} x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + \cdots

Passo 3

Substituir a série de \operatorname{sen} x no numerador e simplificar termo a termo.
Começamos com o numerador
\operatorname{sen} x - x + \frac{x^{3}}{6}.
Substituindo a expansão de \operatorname{sen} x:
\left(x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + \cdots\right) - x + \frac{x^{3}}{6}.
Agora agrupamos e observamos cancelamentos:
  • O termo x da série cancela com o -x.
  • O termo -\dfrac{x^{3}}{6} da série cancela com +\dfrac{x^{3}}{6}.
Ficamos então com os termos de ordem superior:
\operatorname{sen} x - x + \frac{x^{3}}{6} = \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + \cdots.
Ou seja, o primeiro termo não nulo do numerador é \dfrac{x^{5}}{120}; os demais são de ordem x^{7} ou maior.
Observação didática: como a série de \operatorname{sen} x converge absolutamente para todo x, operar termo a termo (soma, subtração) é justificado; para o limite quando x\to0 basta ter o primeiro termo não nulo da série.

Passo 4

Dividir pela x^{5} e tomar o limite.
Dividindo a expressão obtida por x^{5}:
\frac{\operatorname{sen} x - x + \dfrac{x^{3}}{6}}{x^{5}} = \frac{\dfrac{x^{5}}{120} - \dfrac{x^{7}}{5040} + \cdots}{x^{5}} = \frac{1}{120} - \frac{x^{2}}{5040} + \cdots.
Agora fazemos x\to 0. Todos os termos com potências positivas de x tendem a zero, portanto o limite é o termo constante:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - x + \dfrac{x^{3}}{6}}{x^{5}}=\frac{1}{120}.

Passo 5

Comentário extra (para ajudar você a entender e decorar): esse tipo de limite favorável a séries costuma reduzir tudo ao primeiro termo não nulo da expansão do numerador. Por exemplo, um exercício parecido:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x - x}{x^{3}}
usando a mesma expansão dá
\operatorname{sen} x - x = -\frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \cdots,
portanto o limite seria -\dfrac{1}{6}. Isso ilustra o mesmo raciocínio de pegar o primeiro termo não nulo.

Resposta

\dfrac{1}{120}

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