- Usando séries, calcule os seguinte limites indeterminados:
b)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável é
e a aproximação é . - O numerador é
. - O enunciado indica “usando séries” (ou seja, usar a expansão em série de Taylor/Maclaurin de
ao redor de ).
Passo 2
Apresentar a série de Maclaurin da função
e explicar cada termo.
A série de Maclaurin de
é a expansão em potências de
em torno de
. A fórmula geral é
Aqui:
-
é o índice da soma (inteiro não negativo), -
é o fatorial de (por exemplo, ), - cada termo
representa a parcela de grau na expansão.
Escrevendo os primeiros termos (suficientes para nosso limite):
Substituindo os fatoriais:
Passo 3
Substituir a série de
no numerador e simplificar termo a termo.
Começamos com o numerador
Substituindo a expansão de
:
Agora agrupamos e observamos cancelamentos:
- O termo
da série cancela com o . - O termo
da série cancela com .
Ficamos então com os termos de ordem superior:
Ou seja, o primeiro termo não nulo do numerador é
; os demais são de ordem
ou maior.
Observação didática: como a série de
converge absolutamente para todo
, operar termo a termo (soma, subtração) é justificado; para o limite quando
basta ter o primeiro termo não nulo da série.
Passo 4
Dividir pela
e tomar o limite.
Dividindo a expressão obtida por
:
Agora fazemos
. Todos os termos com potências positivas de
tendem a zero, portanto o limite é o termo constante:
Passo 5
Comentário extra (para ajudar você a entender e decorar): esse tipo de limite favorável a séries costuma reduzir tudo ao primeiro termo não nulo da expansão do numerador. Por exemplo, um exercício parecido:
usando a mesma expansão dá
portanto o limite seria
. Isso ilustra o mesmo raciocínio de pegar o primeiro termo não nulo.