O que é uma derivada material? Desenvolva a derivada material para a variável temperatura. De o nome de cada termo desenvolvido desta maneira.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Explicar o que é uma derivada material.
- Desenvolver a derivada material para a variável temperatura.
- Dar o nome de cada termo que aparece nesse desenvolvimento.
Informações / objetos que vamos usar (já dados implicitamente pelo enunciado):
- A temperatura como campo dependente de posição e tempo:
. - A posição de uma partícula de fluido ao longo do tempo:
. - O campo de velocidade do fluido:
.
Passo 2
Ideia física e matemática por trás da derivada material (intuição antes da conta).
- Intuição: a derivada material mede a taxa de variação que uma partícula de fluido “experimenta” ao se mover. Em outras palavras, acompanho uma partícula que se desloca com velocidade
e quero saber como a temperatura que essa partícula sente muda no tempo. - Matematicamente isso é a derivada temporal ao longo da trajetória
da partícula: queremos .
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para obter a expressão da derivada material.
- A função que estamos diferenciando é composta: depende explicitamente do tempo
e implicitamente do tempo via . - Usando a regra da cadeia:
- Reconhecendo que
, obtemos a forma usual:
- Aqui o operador
(nabla) é o operador gradiente espacial; se estivermos em coordenadas cartesianas,
e a notação
é produto escalar entre
e
.
Passo 4
Escrevendo o termo advectivo em componentes (útil para provas e contas manuais).
- Desenvolvendo
em componentes cartesianas:
onde
são as componentes de
nas direções
respectivamente.
- Assim a derivada material em componentes fica:
Passo 5
Nome e interpretação física de cada termo (o que exatamente cada parcela representa).
-
: chamada “derivada material”, “derivada substantiva” ou “derivada de acompanhamento”. É a taxa de variação da temperatura sentida por uma partícula que se move com o fluido. -
: chamada “derivada temporal local” (ou simplesmente “termo local” / “taxa de variação local”). Mede a variação da temperatura num ponto fixo do espaço quando o tempo avança, sem seguir o movimento do fluido. -
: chamada “termo advectivo” ou “termo convectivo” (ou simplesmente “advecção/convecção”). Representa a mudança de temperatura devido ao transporte espacial associado ao movimento do fluido — ou seja, a partícula entra em regiões com valores espaciais diferentes de .
Passo 6
Interpretações práticas e exemplo numérico simples (para fixar).
- Exemplo rápido: seja
num fluxo unidimensional com . Então
e como
,
Isto significa: mesmo que o campo de temperatura varie no espaço e no tempo, uma partícula que se move com
percebe a temperatura crescendo a uma taxa
por unidade de tempo.
- Observação física: é comum em equações de conservação acoplar a derivada material a termos de difusão e fontes. Ex.: balanço de energia por unidade de massa (caso mais simples)
onde
é densidade,
capacidade térmica,
condutividade térmica e
termo fonte. Aqui a esquerda contém a derivada material (mudança acompanhando a partícula) e a direita contém processos que alteram a energia térmica (condução, geração interna).
Passo 7
Resumo final e dica de prova
- Para provar, memorizem que a derivada material é a aplicação da regra da cadeia a um campo
seguindo e que resulta em . - Em exames, sempre escreva o significado físico dos termos: “local” (variação no mesmo ponto) e “advectivo/convectivo” (variação por transporte espacial). Isso costuma garantir pontos extras.
Resposta
A derivada material é a taxa de variação que uma partícula de fluido experiencia ao se mover e é dada por
.
Termos: — derivada temporal local (taxa de variação num ponto fixo);\quad
— termo advectivo/convectivo (variação por transporte pelo movimento do fluido).
Termos: