Calcule o rotacional e o divergente dos campos de vetores $\mathbf{A}=A_{x} \mathbf{i}+A_{y} \mathbf{j}$ .
$\mathbf{A}=y \mathbf{i}-x \mathbf{j}$

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional (curl) do campo vetorial

\mathbf{A}=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}

. Esse conteúdo faz parte de cálculo vetorial, onde usamos derivadas parciais para obter essas operações.

O divergente de um campo bidimensional

\mathbf{A}=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}

é dado por

\mathrm{div}\,\mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}.

Para

\mathbf{A}=y\mathbf{i}-x\mathbf{j}

temos

A_x=y

A_y=-x

. Assim,

\frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial y}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial (-x)}{\partial y} = 0,

portanto

\mathrm{div}\,\mathbf{A} = 0 + 0 = 0.

O rotacional em duas dimensões é um vetor perpendicular ao plano, cujo componente

z

(\nabla \times \mathbf{A})_z = \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}.

Ainda com

A_x=y

A_y=-x

, calculamos

\frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial (-x)}{\partial x} = -1,\quad \frac{\partial A_x}{\partial y} = \frac{\partial y}{\partial y} = 1,

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(\nabla \times \mathbf{A})_z = -1 - 1 = -2,

e o rotacional é

\nabla \times \mathbf{A} = -2\,\mathbf{k}.

\mathrm{div}\,\mathbf{A} = 0, \quad \nabla \times \mathbf{A} = -2\,\mathbf{k}.

Calcule o rotacional e o divergente dos campos de vetores \mathbf{A}=A_{x} \mathbf{i}+A_{y} \mathbf{j}. \mathbf{A}=y \mathbf{i}-x \mathbf{j}