Considere a seguinte distribuição de probabilidade gaussiana,
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-x^{2} /\left(2 \sigma^{2}\right)} .
Ao mesmo tempo, considere um oscilador harmônico unidimensional descrito pela função hamiltoniana
H(x, p)=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}
onde p=-i \frac{d}{d x}. Calcule as seguintes quantidades:
d) \overline{p^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade gaussiana
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-x^{2}/\left(2\sigma^{2}\right)},
o hamiltoniano
H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2}
e a definição do operador momento
p=-i\frac{d}{dx}.
A pergunta (parte d) pede calcular \overline{p^{2}}, ou seja, o valor esperado de p^{2} quando a distribuição de posições é P(x).
Informações relevantes listadas:
  • P(x) é a densidade de probabilidade para x (integrada em toda a reta vale 1).
  • A relação entre P(x) e a função de onda \psi(x) é |\psi(x)|^{2}=P(x).
  • O operador p^{2} é o quadrado do operador p dado; com p=-i\frac{d}{dx} tem-se p^{2}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
  • Deve-se usar as unidades e convenções do enunciado: foi dado p=-i\frac{d}{dx} (portanto \hbar=1 nas unidades adotadas).

Passo 2

Passo inicial: obter a função de onda \psi(x) a partir de P(x). Como P(x)=|\psi(x)|^{2} e podemos escolher a fase constante (escolho \psi real e positiva), temos
\psi(x)=\sqrt{P(x)}.
Calculemos explicitamente \psi(x). Tomando a raiz quadrada de P(x):
\psi(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\right)^{1/2} e^{-x^{2}/(4\sigma^{2})} =\frac{1}{(2\pi)^{1/4}\,\sigma^{1/2}}\,e^{-x^{2}/(4\sigma^{2})}.
Aqui \psi(x) está normalizada pois \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=\int_{-\infty}^{\infty}P(x)\,dx=1.

Passo 3

Escrever a definição do valor esperado de p^{2}. Como operador,
p^{2}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}},
então a expectativa é
\overline{p^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{*}(x)\,p^{2}\,\psi(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\left(-\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)\right)\,dx,
já que \psi foi escolhida real. O próximo passo é calcular a derivada segunda de \psi(x).

Passo 4

Para derivar de forma limpa, escrevemos \psi(x) na forma
\psi(x)=C\,e^{-a x^{2}},
onde identificamos
C=\frac{1}{(2\pi)^{1/4}\,\sigma^{1/2}},\qquad a=\frac{1}{4\sigma^{2}}.
Agora as derivadas:
\frac{d\psi}{dx} = -2a x\,\psi(x),
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \left(4a^{2}x^{2}-2a\right)\psi(x).
Verificação rápida: derivando -2ax\psi obtém-se -2a\psi + (-2ax)(-2ax\psi)=(-2a+4a^{2}x^{2})\psi, que é o mesmo.

Passo 5

Aplicar p^{2}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}} sobre \psi:
p^{2}\psi(x) = -\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = \left(2a-4a^{2}x^{2}\right)\psi(x).
Assim a expectativa fica
\overline{p^{2}}=\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)\left(2a-4a^{2}x^{2}\right)\psi(x)\,dx =2a\int_{-\infty}^{\infty}\psi^{2}(x)\,dx -4a^{2}\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}\psi^{2}(x)\,dx.

Passo 6

Usar \psi^{2}(x)=P(x), normalização \int\psi^{2}=1 e o valor esperado de x^{2} com a gaussiana dada. Para a gaussiana centrada em zero com variância \sigma^{2} vale
\int_{-\infty}^{\infty}x^{2}P(x)\,dx=\langle x^{2}\rangle=\sigma^{2}.
(Esse é um resultado padrão: uma normal N(0,\sigma^{2}) tem variância \sigma^{2}, portanto \langle x^{2}\rangle=\sigma^{2}.)
Substituindo na expressão de \overline{p^{2}}:
\overline{p^{2}}=2a\cdot 1 -4a^{2}\cdot \sigma^{2}.

Passo 7

Substituir a=\dfrac{1}{4\sigma^{2}}:
2a = \frac{1}{2\sigma^{2}},\qquad 4a^{2}=\frac{1}{4\sigma^{4}}.
Portanto
\overline{p^{2}}=\frac{1}{2\sigma^{2}} - \frac{1}{4\sigma^{4}}\cdot\sigma^{2} =\frac{1}{2\sigma^{2}} - \frac{1}{4\sigma^{2}}=\frac{1}{4\sigma^{2}}.

Passo 8

Interpretação curta e nota sobre unidades: com a convenção do enunciado p=-i\frac{d}{dx} foi usado \hbar=1. Se quisesse escrever a resposta em unidades com \hbar explícito, a fórmula correspondente seria \overline{p^{2}}=\dfrac{\hbar^{2}}{4\sigma^{2}}.

Resposta

\displaystyle \overline{p^{2}}=\frac{1}{4\sigma^{2}}

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