A pergunta (parte d) pede calcular \overline{p^{2}}, ou seja, o valor esperado de p^{2} quando a distribuição de posições é P(x).
Informações relevantes listadas:
P(x) é a densidade de probabilidade para x (integrada em toda a reta vale 1).
A relação entre P(x) e a função de onda \psi(x) é |\psi(x)|^{2}=P(x).
O operador p^{2} é o quadrado do operador p dado; com p=-i\frac{d}{dx} tem-se p^{2}=-\frac{d^{2}}{dx^{2}}.
Deve-se usar as unidades e convenções do enunciado: foi dado p=-i\frac{d}{dx} (portanto \hbar=1 nas unidades adotadas).
Passo 2
Passo inicial: obter a função de onda \psi(x) a partir de P(x). Como P(x)=|\psi(x)|^{2} e podemos escolher a fase constante (escolho \psi real e positiva), temos
\psi(x)=\sqrt{P(x)}.
Calculemos explicitamente \psi(x). Tomando a raiz quadrada de P(x):
Usar \psi^{2}(x)=P(x), normalização \int\psi^{2}=1 e o valor esperado de x^{2} com a gaussiana dada. Para a gaussiana centrada em zero com variância \sigma^{2} vale
Interpretação curta e nota sobre unidades: com a convenção do enunciado p=-i\frac{d}{dx} foi usado \hbar=1. Se quisesse escrever a resposta em unidades com \hbar explícito, a fórmula correspondente seria \overline{p^{2}}=\dfrac{\hbar^{2}}{4\sigma^{2}}.