Considere um gás ideal formado por
moléculas. Vimos que o número total de estados acessíveis é dado por
onde
é uma constante independente de
e
. Use o que vimos em aula em termos da definição de tempetura e entropia para mostrar a seguinte relação:
Passo 1
O enunciado dá a função número de microestados acessíveis por um gás ideal de
moléculas:
onde
é uma constante que não depende de
nem de
.
A tarefa é mostrar a relação entre temperatura , energia
e
:
A tarefa é mostrar a relação entre temperatura
Passo 2
Vamos começar lembrando duas definições termodinâmicas fundamentais (essas foram vistas em aula e são as que vamos usar): a entropia
é dada por Boltzmann como
onde
é a constante de Boltzmann; e a temperatura
entra pela relação termodinâmica
ou seja,
é a derivada parcial da entropia em relação à energia, mantendo
e
constantes. Vou explicar brevemente o que isso significa: tomar a derivada parcial
significa ver como
muda quando só a energia
varia um pouquinho, enquanto o volume
e o número de partículas
ficam fixos.
Passo 3
Agora substituímos
na definição de
. Usando a propriedade do logaritmo
e
, temos:
Aqui cada termo está explicado:
-
é constante (não depende de nem de ), -
depende de (mas vamos manter fixo ao derivar), -
é o único termo que depende de .
Passo 4
Agora aplicamos a definição de temperatura. Precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
com
e
fixos:
Como
e
são constantes em relação a
, suas derivadas são zero. Resta apenas a derivada do termo
.
Passo 5
A derivada de
em relação a
é
. Portanto
Pela definição de temperatura,
logo obtemos a relação desejada:
Passo 6
Comentário físico rápido (ajuda para fixar): reescrevendo a relação, tem-se
que é a fórmula familiar da energia interna de um gás ideal monoatômico (cada grau de liberdade contribui com
por partícula — aqui aparecem
graus de liberdade de translação). Isso mostra consistência entre a contagem de microestados e a termodinâmica macroscópica.