Considere um gás ideal formado por N moléculas. Vimos que o número total de estados acessíveis é dado por
\Omega(V, E)=B V^{N} E^{3 N / 2}
onde B é uma constante independente de V e E. Use o que vimos em aula em termos da definição de tempetura e entropia para mostrar a seguinte relação:
\frac{1}{T}=\frac{3}{2} \frac{N k}{E} .

Passo 1

O enunciado dá a função número de microestados acessíveis por um gás ideal de N moléculas:
\Omega(V,E)=B\,V^{N}\,E^{3N/2},
onde B é uma constante que não depende de V nem de E.
A tarefa é mostrar a relação entre temperatura T, energia E e N:
\frac{1}{T}=\frac{3}{2}\frac{N k}{E}.

Passo 2

Vamos começar lembrando duas definições termodinâmicas fundamentais (essas foram vistas em aula e são as que vamos usar): a entropia S é dada por Boltzmann como
S = k \ln \Omega,
onde k é a constante de Boltzmann; e a temperatura T entra pela relação termodinâmica
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N},
ou seja, \dfrac{1}{T} é a derivada parcial da entropia em relação à energia, mantendo V e N constantes. Vou explicar brevemente o que isso significa: tomar a derivada parcial \left(\dfrac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N} significa ver como S muda quando só a energia E varia um pouquinho, enquanto o volume V e o número de partículas N ficam fixos.

Passo 3

Agora substituímos \Omega na definição de S. Usando a propriedade do logaritmo \ln(a b)=\ln a+\ln b e \ln(x^p)=p\ln x, temos:
S = k \ln\big(B\,V^{N}\,E^{3N/2}\big) = k\big(\ln B + N\ln V + \tfrac{3N}{2}\ln E\big).
Aqui cada termo está explicado:
  • \ln B é constante (não depende de E nem de V),
  • N\ln V depende de V (mas vamos manter V fixo ao derivar),
  • \tfrac{3N}{2}\ln E é o único termo que depende de E.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de temperatura. Precisamos calcular a derivada parcial de S em relação a E com V e N fixos:
\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N} = k\left( \frac{\partial}{\partial E}\big(\ln B\big) + \frac{\partial}{\partial E}\big(N\ln V\big) + \frac{\partial}{\partial E}\big(\tfrac{3N}{2}\ln E\big) \right).
Como \ln B e N\ln V são constantes em relação a E, suas derivadas são zero. Resta apenas a derivada do termo \tfrac{3N}{2}\ln E.

Passo 5

A derivada de \ln E em relação a E é \dfrac{1}{E}. Portanto
\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N} = k\cdot \tfrac{3N}{2}\cdot \frac{1}{E} = \frac{3N k}{2E}.
Pela definição de temperatura,
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial E}\right)_{V,N},
logo obtemos a relação desejada:
\frac{1}{T}=\frac{3}{2}\frac{N k}{E}.

Passo 6

Comentário físico rápido (ajuda para fixar): reescrevendo a relação, tem-se
E=\tfrac{3}{2}N k T,
que é a fórmula familiar da energia interna de um gás ideal monoatômico (cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}kT por partícula — aqui aparecem 3 graus de liberdade de translação). Isso mostra consistência entre a contagem de microestados e a termodinâmica macroscópica.

Resposta

\frac{1}{T}=\frac{3}{2}\frac{N k}{E}

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