Considere a seguinte distribuição de probabilidade gaussiana,
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-x^{2} /\left(2 \sigma^{2}\right)} .
Ao mesmo tempo, considere um oscilador harmônico unidimensional descrito pela função hamiltoniana
H(x, p)=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m \omega^{2} x^{2}}{2}
onde p=-i \frac{d}{d x}. Calcule as seguintes quantidades:
a) \bar{x}

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade gaussiana
P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-x^{2}/\left(2\sigma^{2}\right)}
definida para x\in(-\infty,\infty). Também é dada a hamiltoniana do oscilador harmônico unidimensional
H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2},
com p=-i\frac{d}{dx}, mas essa informação não é necessária para calcular \bar{x}.
A pergunta (a) é: calcular \bar{x}, ou seja, o valor esperado (média) da variável x com respeito à distribuição P(x).

Passo 2

Lembrando a definição do valor esperado de x para uma densidade P(x):
\bar{x}=\int_{-\infty}^{\infty} x\,P(x)\,dx.
Vou usar essa fórmula diretamente.

Passo 3

Observe a paridade da função P(x). Para qualquer x vale
P(-x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-(-x)^{2}/\left(2\sigma^{2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\,e^{-x^{2}/\left(2\sigma^{2}\right)}=P(x),
ou seja, P(x) é uma função par. Então o integrando x\,P(x) é uma função ímpar, porque
x\,P(x)\\ \text{é ímpar:}\qquad (-x)P(-x)=-xP(x)=-(xP(x)).éí

Passo 4

A integral de uma função ímpar em limites simétricos é zero. Formalmente, seja
I=\int_{-\infty}^{\infty} x\,P(x)\,dx.
Fazendo a mudança de variável u=-x obtém-se
I=\int_{\infty}^{-\infty} (-u)\,P(-u)\,(-du)=\int_{-\infty}^{\infty} (-u)\,P(u)\,du=-I,
portanto I=-I, o que implica I=0.

Resposta

\bar{x}=0

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