Considere a seguinte distribuição de probabilidade gaussiana,
Ao mesmo tempo, considere um oscilador harmônico unidimensional descrito pela função hamiltoniana
onde
. Calcule as seguintes quantidades:
a)
a)
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade gaussiana
definida para
. Também é dada a hamiltoniana do oscilador harmônico unidimensional
com
, mas essa informação não é necessária para calcular
.
A pergunta (a) é: calcular
, ou seja, o valor esperado (média) da variável
com respeito à distribuição
.
Passo 2
Lembrando a definição do valor esperado de
para uma densidade
:
Vou usar essa fórmula diretamente.
Passo 3
Observe a paridade da função
. Para qualquer
vale
ou seja,
é uma função par. Então o integrando
é uma função ímpar, porque
Passo 4
A integral de uma função ímpar em limites simétricos é zero. Formalmente, seja
Fazendo a mudança de variável
obtém-se
portanto
, o que implica
.