Considere a seguinte EDO
\left(3 \frac{y^{2}}{x}-\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{x^{3}}{y}+3 y^{2} \ln (x)\right) \frac{d y}{d x}=-3 \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{3}}{x^{2}}-\frac{y^{3}}{x}-3 x^{2} \ln (y)
  • Encontre o valor de k para a curva que passa no ponto P=(x=1, y=5)
Coloque aqui sua resposta; k= Não exc

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\Bigl(3 \frac{y^{2}}{x}-\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{x^{3}}{y}+3 y^{2} \ln(x)\Bigr)\frac{dy}{dx} =-3 \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{3}}{x^{2}}-\frac{y^{3}}{x}-3 x^{2} \ln(y)
e pede o valor da constante de integração k para a curva que passa pelo ponto P=(1,5).
O conteúdo usado é o de equações diferenciais exatas e função potencial.

Passo 2

Reescrevemos a EDO na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Como a EDO original é
A(x,y)\,\frac{dy}{dx} = B(x,y),
temos
\frac{dy}{dx}=\frac{B}{A}\quad\Longrightarrow\quad -B\,dx + A\,dy=0,
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M(x,y)=-B(x,y)=3\frac{x^2}{y}-\frac{y^3}{x^2}+\frac{y^3}{x}+3x^2\ln(y),
N(x,y)=A(x,y)=3\frac{y^2}{x}-\frac{x^3}{y^2}+\frac{x^3}{y}+3y^2\ln(x).

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =-3\frac{x^2}{y^2}-3\frac{y^2}{x^2}+3\frac{y^2}{x}+3\frac{x^2}{y},
\frac{\partial N}{\partial x} =-3\frac{y^2}{x^2}-3\frac{x^2}{y^2}+3\frac{x^2}{y}+3\frac{y^2}{x},
e constatamos que \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, ou seja, a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N. Integramos M em x:
\psi(x,y) =\int\Bigl(3\frac{x^2}{y}-\frac{y^3}{x^2}+\frac{y^3}{x}+3x^2\ln(y)\Bigr)\,dx =x^3\frac{1}{y}+\frac{y^3}{x}+y^3\ln(x)+x^3\ln(y)+h(y).

Passo 5

Impondo \psi_y=N para determinar h(y), vemos que h'(y)=0, logo h(y)= constante.

Passo 6

A solução implícita fica
x^3\frac{1}{y}+\frac{y^3}{x}+y^3\ln(x)+x^3\ln(y)=k.
Aplicando a condição inicial (x,y)=(1,5):
k =1^3\frac{1}{5}+\frac{5^3}{1}+5^3\ln(1)+1^3\ln(5) =\frac{1}{5}+125+0+\ln(5) =125+\tfrac{1}{5}+\ln(5).

Resposta

k=125+\frac{1}{5}+\ln(5).

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