Considere a seguinte EDO
\left(3 \frac{y^{2}}{x}-\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{x^{3}}{y}+3 y^{2} \ln (x)\right) \frac{d y}{d x}=-3 \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{3}}{x^{2}}-\frac{y^{3}}{x}-3 x^{2} \ln (y)
  • Verifique se essa EDO é exata. Em caso afirmativo, calcule a funçāo f(x, y) cujas curvas de nível sāo as soluções dessa EDO e a avalie no ponto (x=4, y=1)
Coloque sua resposta aqui: f(x=4, y=1)= Não exc

Passo 1

O enunciado dá a EDO
\Bigl(3\frac{y^{2}}{x}-\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{x^{3}}{y}+3y^{2}\ln(x)\Bigr)\frac{dy}{dx} =-3\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{3}}{x^{2}}-\frac{y^{3}}{x}-3x^{2}\ln(y)
e pede para verificar se é exata. Se for, queremos achar uma função f(x,y) tal que
df = M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
cujo nível f(x,y)=C são as soluções, e então calcular f(4,1).

Passo 2

Colocamos tudo na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) =3\frac{x^{2}}{y}-\frac{y^{3}}{x^{2}}+\frac{y^{3}}{x}+3x^{2}\ln(y),
N(x,y) =3\frac{y^{2}}{x}-\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{x^{3}}{y}+3y^{2}\ln(x).

Passo 3

Calculamos as parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =-3\frac{x^{2}}{y^{2}} -3\frac{y^{2}}{x^{2}} +3\frac{y^{2}}{x} +3\frac{x^{2}}{y},
\frac{\partial N}{\partial x} =-3\frac{y^{2}}{x^{2}} -3\frac{x^{2}}{y^{2}} +3\frac{x^{2}}{y} +3\frac{y^{2}}{x}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a EDO é exata.

Passo 4

Buscamos f(x,y) tal que f_x=M. Integramos M em relação a x:
f(x,y) =\int\Bigl(3\frac{x^{2}}{y}-\frac{y^{3}}{x^{2}}+\frac{y^{3}}{x}+3x^{2}\ln(y)\Bigr)dx + h(y).
Fazendo termo a termo:
\int3\frac{x^{2}}{y}dx = \frac{x^{3}}{y},\quad \int-\frac{y^{3}}{x^{2}}dx = \frac{y^{3}}{x},\quad \int\frac{y^{3}}{x}dx = y^{3}\ln(x),\quad \int3x^{2}\ln(y)\,dx = x^{3}\ln(y).
Logo
f(x,y) =\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{x}+y^{3}\ln(x)+x^{3}\ln(y)+h(y).

Passo 5

Derivando f em y e igualando a N para achar h'(y):
f_{y} =-\frac{x^{3}}{y^{2}} +3\frac{y^{2}}{x} +3y^{2}\ln(x) +\frac{x^{3}}{y} +h'(y).
Como isso deve ser
N(x,y) =3\frac{y^{2}}{x}-\frac{x^{3}}{y^{2}}+\frac{x^{3}}{y}+3y^{2}\ln(x),
vemos que h'(y)=0. Portanto h(y) é constante e a solução implícita é
f(x,y) =\frac{x^{3}}{y}+\frac{y^{3}}{x}+y^{3}\ln(x)+x^{3}\ln(y)=C.

Passo 6

Para obter o valor de C no ponto (4,1) computamos
f(4,1) =\frac{4^{3}}{1}+\frac{1^{3}}{4}+1^{3}\ln(4)+4^{3}\ln(1) =64+\tfrac{1}{4}+\ln(4)+0 =\frac{257}{4}+\ln(4).

Resposta

f(4,1)=\displaystyle \frac{257}{4}+\ln(4)

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