Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
10 x \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}=3 x
que possui uma solução dada por : y_{1}=x^{\frac{8}{10}}.
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO, y_{2}, utilizando, obrigatoriamente, a fórmula de redução de ordem e dê o valor numérico dessa solução para x=3.
Escreva sua resposta aqui y_{2}(3)=

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
10x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{dy}{dx}=3x
e informa que uma solução conhecida é \;y_{1}=x^{\frac{8}{10}}=x^{\frac{4}{5}}.\n
O que a questão pede:
  • Encontrar a segunda solução elementar \;y_{2} usando obrigatoriamente a fórmula de redução de ordem.
  • Calcular o valor numérico dessa solução em x=3, isto é, fornecer \;y_{2}(3).\n
    Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação homogênea associada (obtida tirando o termo não-homogêneo 3x) é
10x\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2\frac{dy}{dx}=0.
  • Uma solução da equação homogênea é \;y_{1}=x^{\frac{4}{5}}.
  • Precisamos aplicar a redução de ordem para achar uma segunda solução linearmente independente da homogênea.

Passo 2

Colocamos a equação homogênea na forma padrão \;y''+P(x)y'+Q(x)y=0 dividindo por 10x (assumindo x\neq0):
y''+\frac{2}{10x}y'=0.
Portanto
P(x)=\frac{2}{10x}=\frac{1}{5x},\qquad Q(x)=0.
Explicação rápida: a forma padrão é útil porque a fórmula de redução de ordem usa diretamente P(x) e y_{1}.

Passo 3

Apresento agora a fórmula de redução de ordem. Se \;y_{1} é uma solução da equação homogênea \;y''+P(x)y'+Q(x)y=0, então uma segunda solução linearmente independente pode ser obtida por
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx.
O que cada parte significa:
  • \;P(x) é o coeficiente de y' na forma padrão.
  • \;e^{-\int P(x)\,dx} é um fator obtido integrando P.
  • A integral inteira fornece (até uma constante aditiva) uma função cuja multiplicação por y_{1} dá a segunda solução.
    Observação curta do porquê (intuição): assumimos y=v(x)y_{1}, reduzimos a ordem passando para v' e obtemos uma equação de primeira ordem cuja solução leva à fórmula acima.

Passo 4

Calculemos primeiro o fator exponencial:
\int P(x)\,dx=\int \frac{1}{5x}\,dx=\frac{1}{5}\ln x,
logo
e^{-\int P(x)\,dx}=e^{-\frac{1}{5}\ln x}=x^{-\frac{1}{5}}.
Expliquei: usei \int 1/x\,dx=\ln x e a propriedade e^{a\ln x}=x^{a}.

Passo 5

Agora formamos o integrando da fórmula:
\frac{e^{-\int P(x)\,dx}}{y_{1}^{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{5}}}{\bigl(x^{\frac{4}{5}}\bigr)^{2}}=\frac{x^{-\frac{1}{5}}}{x^{\frac{8}{5}}}=x^{-\frac{9}{5}}.
Integramos x^{-\frac{9}{5}} usando a regra da potência \int x^{m}\,dx=\dfrac{x^{m+1}}{m+1} quando m\neq -1. Aqui m=-\tfrac{9}{5}, então
\int x^{-\frac{9}{5}}\,dx=\frac{x^{-\frac{9}{5}+1}}{-\frac{9}{5}+1}=\frac{x^{-\frac{4}{5}}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{5}{4}\,x^{-\frac{4}{5}} + C.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula completa:
y_{2}=y_{1}\left(-\frac{5}{4}\,x^{-\frac{4}{5}}+C\right).
Substituindo y_{1}=x^{\frac{4}{5}},
y_{2}=x^{\frac{4}{5}}\left(-\frac{5}{4}\,x^{-\frac{4}{5}}+C\right)=-\frac{5}{4}+C\,x^{\frac{4}{5}}.
Interpretação: a expressão geral da segunda solução obtida pela redução de ordem tem duas partes: uma constante -\tfrac{5}{4} e uma múltipla de x^{\frac{4}{5}}. A parte proporcional a x^{\frac{4}{5}} é apenas um múltiplo da solução já conhecida y_{1}, portanto não dá solução independentemente nova. A parte constante é uma solução nova e independente de y_{1}. Podemos escolher a constante de integração de forma conveniente: tomando C=0 e multiplicando por -\tfrac{4}{5} se quisermos, obtemos uma constante não nula. Para simplificar e ter uma solução elementar canônica, escolhemos
y_{2}=1
(qualquer constante não nula serve; escolhemos 1 por simplicidade).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, curta): para y_{2}=1 temos y_{2}'=0 e y_{2}''=0. Substituindo na homogênea 10x y''+2y'=0 obtemos 0=0, logo é de fato solução. E é linearmente independente de y_{1}=x^{\frac{4}{5}} porque não existe constante k tal que x^{\frac{4}{5}}=k para todo x.

Resposta

y_{2}(3)=1

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