Considere a seguinte EDO LINEAR DE COEFICIENTES VARIÁVEIS:
que possui uma solução dada por :
.
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO,
, utilizando, obrigatoriamente, a fórmula de redução de ordem e dê o valor numérico dessa solução para
.
Escreva sua resposta aqui
□
Questão 1) Encontre a segunda solução elementar dessa EDO,
Escreva sua resposta aqui
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e informa que uma solução conhecida é
.\n
O que a questão pede:
O que a questão pede:
- Encontrar a segunda solução elementar
usando obrigatoriamente a fórmula de redução de ordem. - Calcular o valor numérico dessa solução em
, isto é, fornecer .\n
Informações relevantes extraídas do enunciado: - A equação homogênea associada (obtida tirando o termo não-homogêneo
) é
- Uma solução da equação homogênea é
. - Precisamos aplicar a redução de ordem para achar uma segunda solução linearmente independente da homogênea.
Passo 2
Colocamos a equação homogênea na forma padrão
dividindo por
(assumindo
):
Portanto
Explicação rápida: a forma padrão é útil porque a fórmula de redução de ordem usa diretamente
e
.
Passo 3
Apresento agora a fórmula de redução de ordem. Se
é uma solução da equação homogênea
, então uma segunda solução linearmente independente pode ser obtida por
O que cada parte significa:
-
é o coeficiente de na forma padrão. -
é um fator obtido integrando . - A integral inteira fornece (até uma constante aditiva) uma função cuja multiplicação por
dá a segunda solução.
Observação curta do porquê (intuição): assumimos, reduzimos a ordem passando para e obtemos uma equação de primeira ordem cuja solução leva à fórmula acima.
Passo 4
Calculemos primeiro o fator exponencial:
logo
Expliquei: usei
e a propriedade
.
Passo 5
Agora formamos o integrando da fórmula:
Integramos
usando a regra da potência
quando
. Aqui
, então
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula completa:
Substituindo
,
Interpretação: a expressão geral da segunda solução obtida pela redução de ordem tem duas partes: uma constante
e uma múltipla de
. A parte proporcional a
é apenas um múltiplo da solução já conhecida
, portanto não dá solução independentemente nova. A parte constante é uma solução nova e independente de
. Podemos escolher a constante de integração de forma conveniente: tomando
e multiplicando por
se quisermos, obtemos uma constante não nula. Para simplificar e ter uma solução elementar canônica, escolhemos
(qualquer constante não nula serve; escolhemos
por simplicidade).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, curta): para
temos
e
. Substituindo na homogênea
obtemos
, logo é de fato solução. E é linearmente independente de
porque não existe constante
tal que
para todo
.
Resposta
y_{2}(3)=1