(2 pts) Mostre que x^{3}+x^{2}+1 é irredutivel em \mathbb{Z}_{7}. Determine o corpo \mathbb{L}=\mathbb{Z}_{7}[x] / J, onde J= \left(x^{3}+x^{2}+1\right) \mathbb{Z}_{7}[x], especificando quantos elementos tem o corpo.
Passo 1
O enunciado dá o polinómio \;x^{3}+x^{2}+1\; em \;\mathbb{Z}_{7}[x]\; e o ideal J=\bigl(x^{3}+x^{2}+1\bigr)\mathbb{Z}_{7}[x]. Pede-se: (1) mostrar que \;x^{3}+x^{2}+1\; é irredutível em \mathbb{Z}_{7}; (2) determinar o corpo \mathbb{L}=\mathbb{Z}_{7}[x]/J, descrevendo-o e especificando quantos elementos ele tem.
Passo 2
Regra prática que vamos usar (e vou explicar por que funciona): um polinómio de grau \;3\; sobre um corpo é irredutível se, e somente se, não tem raiz no corpo. Explicação curta: se um polinómio de grau 3 fosse redutível sobre um corpo, ele teria um fator de grau 1 (uma raiz) ou a fatoração seria produto de dois polinómios de grau >0 cujas somas de graus somariam 3; como os únicos inteiros positivos que somam 3 são 1+2 ou 1+1+1, existe necessariamente um fator linear. Portanto, basta verificar que \;x^{3}+x^{2}+1\; não tem raízes em \mathbb{Z}_{7}.
Passo 3
Vamos avaliar \;f(x)=x^{3}+x^{2}+1\; para todos os elementos de \mathbb{Z}_{7}=\{0,1,2,3,4,5,6\} e ver se algum valor é congruente a 0 módulo 7.
Calculemos um a um (todas as contas em \mathbb{Z}_{7}):
Em todos os casos obtemos valores em \{1,2,3,4,6\}, nunca 0. Logo, \;f(x)\; não tem raiz em \mathbb{Z}_{7}.
Passo 4
Pelo Passo 2 e pelo Passo 3, como \;f(x)=x^{3}+x^{2}+1\; é de grau 3 e não tem raiz em \mathbb{Z}_{7}, concluímos que \;f(x)\; é irredutível em \mathbb{Z}_{7}.
Passo 5
Consequência algébrica importante: se um polinómio \;f\; é irredutível sobre um corpo K, o ideal gerado por f em K[x] é maximal, e o quociente K[x]/(f) é um corpo. Aplicando aqui, J=(x^{3}+x^{2}+1) é maximal em \mathbb{Z}_{7}[x] e, portanto, \mathbb{L}=\mathbb{Z}_{7}[x]/J é um corpo.
Passo 6
Descrevendo os elementos de \mathbb{L}: a classe de x em \mathbb{L} (o resto da imagem de x no quociente) pode ser chamada de \alpha=\overline{x}. Como estamos a dividir por um polinómio de grau 3, cada classe em \mathbb{L} tem um representante único que é um polinómio de grau menor que 3. Assim:
com a relação \alpha^{3} = -\alpha^{2}-1 que vem do fato de x^{3}+x^{2}+1\equiv 0 em \mathbb{L}. Em \mathbb{Z}_{7} podemos escrever -1\equiv 6, e -\alpha^{2}\equiv 6\alpha^{2}, então uma fórmula prática é
Com essa relação conseguimos reduzir qualquer potência de \alpha para um polinómio de grau \le 2, o que dá regras explícitas de multiplicação no corpo.
Passo 7
Contagem dos elementos: cada um dos coeficientes a,b,c pode ser escolhido de \mathbb{Z}_{7}, que tem 7 elementos. Logo o número total de elementos de \mathbb{L} é
7\cdot 7\cdot 7 = 7^{3} = 343.
Portanto \mathbb{L} é um corpo com 343 elementos (ou seja, é isomorfo ao corpo finito \mathbb{F}_{7^{3}}).
Resposta
x^{3}+x^{2}+1 é irredutível em \mathbb{Z}_{7}. \displaystyle \mathbb{L}=\mathbb{Z}_{7}[x]/\bigl(x^{3}+x^{2}+1\bigr)\cong\{a+b\alpha+c\alpha^{2}\mid a,b,c\in\mathbb{Z}_{7}\} com \alpha^{3}=-\alpha^{2}-1 (ou \alpha^{3}=6\alpha^{2}+6 em \mathbb{Z}_{7}), e |\mathbb{L}|=7^{3}=343.