(2 pts) Considere os aneis de polinômios \mathbb{Z}[x] e \mathbb{Q}[x].
(a) Enuncie o Critério de Eisentein.
(b) Seja f(x)=x^{4}+10 x^{3}+20 x^{2}+30 x+22, mostre que I=f(x) \mathbb{Q}[x] é um ideal maximal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) enunciar o Critério de Eisenstein; (b) para f(x)=x^{4}+10 x^{3}+20 x^{2}+30 x+22 mostrar que I=f(x)\mathbb{Q}[x] é um ideal maximal. Informações dadas e relevantes: o trabalho ocorre nos anéis de polinômios \mathbb{Z}[x] e \mathbb{Q}[x]; o polinômio f(x) está explicitamente fornecido; o ideal é I=f(x)\mathbb{Q}[x]. Não há outras informações a pedir.

Passo 2

Enuncie do Critério de Eisenstein de forma clara e completa (resposta à parte (a)). O enunciado é o seguinte:
Seja f(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0 um polinômio com coeficientes em \mathbb{Z}. Se existe um primo p tal que
p \nmid a_n,\qquad p \mid a_i \\ \text{para todo}\\ i=0,1,\dots,n-1,\qquad p^2 \nmid a_0,
então f(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x].
Vou agora explicar didaticamente o que cada parte significa: \nmid quer dizer “não divide” e \mid quer dizer “divide”. A condição pede que p não divida o coeficiente líder a_n, que p divida todos os outros coeficientes, e que p^2 não divida o termo independente a_0. Se tudo isso ocorre, então o critério garante que não existe fatoração não-trivial de f sobre os racionais.

Passo 3

Explicação (e esboço de demonstração) do porquê do Critério de Eisenstein funcionar — importante para você entender e aplicar corretamente na prova.
  1. Primeiro, uma definição útil: um polinômio em \mathbb{Z}[x] é dito primitivo se os seus coeficientes não têm um divisor inteiro comum maior que 1. Por exemplo, 2x+1 é primitivo, 2x+2 não é (porque ambos coeficientes são divisíveis por 2).
  2. Lema de Gauss (versão usada): se um polinômio primitivo em \mathbb{Z}[x] é redutível em \mathbb{Q}[x], então ele já é redutível em \mathbb{Z}[x] como produto de polinômios primitivos. Em outras palavras, para polinômios primitivos, irreducibilidade em \mathbb{Q}[x] é equivalente à irreducibilidade em \mathbb{Z}[x].
  3. Agora, suponha para contradição que f satisfaz as hipóteses do critério com um primo p, mas que f é redutível em \mathbb{Q}[x]. Pelo Lema de Gauss, podemos escrever
f(x)=g(x)h(x)
com g,h\in\mathbb{Z}[x] primitivos e de grau ao menos 1. Seja g(0)=b_0 e h(0)=c_0; então a_0=b_0 c_0.
  1. Como p\mid a_0 mas p^2\nmid a_0, exatamente um entre b_0 e c_0 é divisível por p. Sem perda de generalidade, suponha p\mid b_0 e p\nmid c_0.
  2. Considere as reduções módulo p. Como p\mid a_i para i<n, a redução de f módulo p é
\overline{f}(x)\equiv x^n \pmod p.
Então \overline{g}(x)\,\overline{h}(x)\equiv x^n\pmod p. Isso implica que \overline{g}(x) e \overline{h}(x) são potências monomiais em \mathbb{F}_p[x], i.e., cada um é da forma c x^r com c\in\mathbb{F}_p^\times.
  1. Mas \overline{g}(x) sendo um monômio c x^r significa que todos os coeficientes de g exceto o líder e o termo independente são divisíveis por p; e como p\mid b_0=g(0), na verdade todos os coeficientes de g seriam divisíveis por p. Isso contraria a primitividade de g (pois então p seria divisor comum de todos os coeficientes de g). Contradição.
  2. Logo f não pode ser redutível em \mathbb{Q}[x]; isto é, f é irreduzível sobre \mathbb{Q}. Esse é o núcleo do argumento do Critério de Eisenstein.

Passo 4

Aplicação do Critério de Eisenstein ao polinômio fornecido (parte (b)). Vamos checar com p=2.
O polinômio é
f(x)=x^{4}+10x^{3}+20x^{2}+30x+22.
Verificações com p=2:
  • O coeficiente líder é 1. Como 2\nmid 1, a primeira condição p\nmid a_n está satisfeita.
  • Os outros coeficientes são 10,20,30,22. Todos são divisíveis por 2:
10=2\cdot5,\quad 20=2\cdot10,\quad 30=2\cdot15,\quad 22=2\cdot11,
portanto 2\mid a_i para todo i=0,1,2,3.
  • Verificar p^2=4\nmid a_0: o termo independente é a_0=22. Como 22=2\cdot11 e 4\nmid 22, temos 2^2\nmid 22.
Assim, todas as hipóteses do Critério de Eisenstein com p=2 são satisfeitas.

Passo 5

Conclusão da irreducibilidade: pelo Critério de Eisenstein com p=2 acabamos de verificar que f(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x].

Passo 6

Como isso implica que I=f(x)\mathbb{Q}[x] é maximal — explicação didática sobre ideais em \mathbb{Q}[x].
  1. Fato básico: \mathbb{Q} é um corpo, logo \mathbb{Q}[x] é um domínio de euclides (e, em particular, um PID). Em anéis de polinômios sobre um corpo, um ideal gerado por um polinômio não-constante (g(x)) é maximal se e somente se g(x) é irreduzível sobre o corpo. A razão é que \mathbb{Q}[x]/(g(x)) é isomorfo a uma extensão do corpo \mathbb{Q}; se g é irreduzível, esse quociente é um corpo, então (g) é maximal; se g é reduzível, o quociente não é campo.
  2. Aplicando ao nosso caso: f(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x] (Passo 5), portanto o ideal gerado por f em \mathbb{Q}[x], que é I=f(x)\mathbb{Q}[x], é um ideal maximal.

Passo 7

Resumo final e incentivo: conseguimos aplicar o Critério de Eisenstein de modo direto e verificar as condições com p=2. Isso mostrou que f é irreduzível em \mathbb{Q}[x], e daí decorre que I é maximal. Força aí — essa técnica (Eisenstein) é um truque rápido e muito útil em provas!

Resposta

(a) Seja f(x)=a_n x^n+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]. Se existe primo p tal que
p\nmid a_n,\qquad p\mid a_i\\ \text{para todo }i=0,\dots,n-1,\qquad p^2\nmid a_0,
então f(x) é irreduzível em \mathbb{Q}[x].\n
(b) I=f(x)\mathbb{Q}[x] é um ideal maximal, pois com p=2 o Critério de Eisenstein dá que f é irreduzível em \mathbb{Q}[x] e, em \mathbb{Q}[x], o ideal gerado por um polinômio irreduzível é maximal.

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