Considere a seguinte equação:
d^2 yd t^2+K d yd t+4 y=u
(b) Considerando uma resposta do tipo degrau, indique para quais valores de K a resposta será oscilatória, não oscilatória e criticamente amortecida, apresentando os tipos de raízes obtidas. Considere o intervalo de valores para K variando de 0 a 10.

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente olhar a equação
d^2 yd t^2 + K ,d yd t + 4,y = u(t)
onde é um degrau. O assunto aqui é resposta de sistemas de segunda ordem: a gente vai montar a equação característica, estudar o discriminante (a parte que fala de amortecimento) e, conforme o valor de entre 0 e 10, dizer quando a resposta é oscilatória, criticamente amortecida ou não oscilatória (sobreamortecida). Para isso precisamos de:
- Equação característica associada
- Discriminante
- Relação de com as raízes e com o tipo de amortecimento

Passo 2

Escrevendo a equação característica:
r^2 + K,r + 4 = 0
A gente resolve isso calculando o discriminante
De
O sinal de determina o tipo de raiz e, portanto, o comportamento do sistema.

Passo 3

Classificando pelos casos do discriminante:
  1. Se (isto é, ou ), as raízes são complexas conjugadas e o sistema oscila (subamortecido).
  2. Se (isto é, ), as raízes são reais iguais e o sistema é criticamente amortecido (não oscila, mas decai o mais rápido sem ultrapassar).
  3. Se (isto é, ), as raízes são reais distintas e negativas e o sistema é superamortecido (não oscila, decai mais devagar).

Passo 4

Então basta usar o intervalo e separar em:
  • : subamortecido (oscilatório), raízes .
  • : criticamente amortecido, raiz dupla .
  • : superamortecido (não oscilatório), raízes reais .

Resposta

Para entre 0 e 10:
  • 0 ≤ K < 4 → oscilatória (subamortecido), raízes complexas.
  • K = 4 → criticamente amortecido, raiz dupla.
  • 4 < K ≤ 10 → não oscilatória (sobreamortecido), raízes reais distintas.

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