Considere a seguinte equação:
(b) Considerando uma resposta do tipo degrau, indique para quais valores de K a resposta será oscilatória, não oscilatória e criticamente amortecida, apresentando os tipos de raízes obtidas. Considere o intervalo de valores para K variando de 0 a 10.
Passo 1
Beleza, então o enunciado manda a gente olhar a equação
onde
- Equação característica associada
- Discriminante
- Relação de
Passo 2
Escrevendo a equação característica:
A gente resolve isso calculando o discriminante
O sinal de
determina o tipo de raiz e, portanto, o comportamento do sistema.
Passo 3
Classificando pelos casos do discriminante:
- Se
(isto é, ou ⇔ ), as raízes são complexas conjugadas e o sistema oscila (subamortecido). - Se
(isto é, ⇔ ), as raízes são reais iguais e o sistema é criticamente amortecido (não oscila, mas decai o mais rápido sem ultrapassar). - Se
(isto é, ⇔ ), as raízes são reais distintas e negativas e o sistema é superamortecido (não oscila, decai mais devagar).
Passo 4
Então basta usar o intervalo
e separar em:
-
: subamortecido (oscilatório), raízes . -
: criticamente amortecido, raiz dupla . -
: superamortecido (não oscilatório), raízes reais .
Resposta
Para
entre 0 e 10:
- 0 ≤ K < 4 → oscilatória (subamortecido), raízes complexas.
- K = 4 → criticamente amortecido, raiz dupla.
- 4 < K ≤ 10 → não oscilatória (sobreamortecido), raízes reais distintas.