Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
r=62+3 cos theta
Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica em coordenadas polares:
r = 62 + 3 cos theta
O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica é essa (como parábola, elipse ou hipérbole) e encontrar uma reta diretriz dessa cônica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica das cônicas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares com foco na origem:
r = e cdot d1 + e cos theta
Aqui, e é a excentricidade da cônica e d é a distância entre o foco (neste caso, a origem) e a diretriz.
Comparando com a equação que temos:
r = 62 + 3 cos theta
Podemos reescrever para ficar mais parecido com a forma geral:
r = 62 + 3 cos theta = 6/21 + (3/2) cos theta = 31 + 32 cos theta
Agora, fica claro que:
  • e \cdot d = 3
  • e = 3/2

Passo 3

Com a excentricidade e = 3/2, sabemos que:
  • Se e = 0, é um círculo;
  • Se 0 < e < 1, é uma elipse;
  • Se e = 1, é uma parábola;
  • Se e > 1, é uma hipérbole.
Como 3/2 > 1, nossa cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a reta diretriz. Sabemos que:
e cdot d = 3 e = 32 Rightarrow d = 332 = 2
Então, a distância d entre o foco e a diretriz é 2 unidades.
A diretriz para uma hipérbole em coordenadas polares com parâmetro d fica na posição:
x = de
Substituindo os valores:
x = 232 = 43
Então, a reta diretriz é a linha vertical em x = 4/3.

Resposta

A cônica representada é uma hipérbole e uma de suas retas diretrizes é a linha vertical em x = 43.

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