Considere a seguinte equação de uma cônica em coordenadas polares:
Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de uma cônica em coordenadas polares:
O objetivo aqui é identificar que tipo de cônica é essa (como parábola, elipse ou hipérbole) e encontrar uma reta diretriz dessa cônica. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica das cônicas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares com foco na origem:
Aqui, e é a excentricidade da cônica e d é a distância entre o foco (neste caso, a origem) e a diretriz.
Comparando com a equação que temos:
Podemos reescrever para ficar mais parecido com a forma geral:
Agora, fica claro que:
- e \cdot d = 3
- e = 3/2
Passo 3
Com a excentricidade e = 3/2, sabemos que:
- Se e = 0, é um círculo;
- Se 0 < e < 1, é uma elipse;
- Se e = 1, é uma parábola;
- Se e > 1, é uma hipérbole.
Como 3/2 > 1, nossa cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a reta diretriz. Sabemos que:
Então, a distância d entre o foco e a diretriz é 2 unidades.
A diretriz para uma hipérbole em coordenadas polares com parâmetro d fica na posição:
Substituindo os valores:
Então, a reta diretriz é a linha vertical em x = 4/3.
Resposta
A cônica representada é uma hipérbole e uma de suas retas diretrizes é a linha vertical em
.