Considere a seguinte Equação a Diferenças (EaD):
y[k]-3 y[k-1]+2 y[k-2]=e[k],
em que:
  • e[k]=l1, para k=0,1, 0, para k >= 2 ;
  • y[-2]=y[-1]=0.
Determine y[k] (resolver a equação a diferenças), utilizando:
a) A técnica sequencial (iteração da sequência), para k=0 até 10;
b) A transformada Z;
c) Determine o valor o final de y[k], para k infty.

Passo 1

O enunciado dá a equação a diferenças
y[k] - 3,y[k-1] + 2,y[k-2] = e[k],
com e[k]=1 para k=0,1 e e[k]=0 para k>=2, e condições iniciais y[-2]=y[-1]=0.
Queremos
(a) obter y[k] por iteração de k=0 a 10;
(b) resolver em forma fechada via transformada Z;
(c) achar limktoinftyy[k].

Passo 2

Para e usamos a equação direta:
Para , e então
Calculando até , obtemos:

Passo 3

Aplicamos transformada Z, lembrando que y[-1]=y[-2]=0.
Temos
Y(z)l(1 - 3,z^-1 + 2,z^-2r) = E(z),
e como e[k]=1 só em k=0,1,
E(z) = sumk=0^1 z^-k = 1 + z^-1
Multiplicando ambos os lados por z^2,
Y(z) = z^2,E(z)z^2 - 3z + 2 = z^2 + z(z-1)(z-2)

Passo 4

Fazemos divisão polinomial e frações parciais:
z^2+zz^2-3z+2 = 1 + 4z-2(z-1)(z-2),
4z-2(z-1)(z-2) = -2z-1 + 6z-2
Logo
Y(z) = 1 - 2z-1 + 6z-2
Pela transformada inversa, 1mapsto de<a[k],
tfrac1z-amapsto a^k u[k], obtemos
y[k] = de<a[k] -2cdot1^k u[k] + 6cdot2^k u[k]
Isto dá a forma fechada
y[0]=1, y[k] = -2 + 6cdot 2^,k-1, k>=1

Passo 5

Para ktoinfty a parte dominante é 6cdot2^,k-1, que cresce sem limite.
Logo
limktoinftyy[k]=+infty

Resposta

(a) y[k]k=0^10 = 1,4,10,22,46,94,190,382,766,1534,3070.
(b)
y[0]=1, y[k] = -2 + 6cdot 2^,k-1(,k>=1,)
(c) limktoinftyy[k]=+infty.

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