Para uma sequência numérica e[k], com transformada Z dada por:
E[z]=z(z+1)^2
a) Determine o valor final da sequência a partir de E[z];
b) Confira o resultado de (a) encontrando Z^-1E[z];
c) Repita os itens (a) e (b) para: E[z]=z /(z-1)^2;
d) Repita os itens (a) e (b) para: E[z]=z /(z-0,9)^2;
e) Repita os itens (a) e (b) para: E[z]=z /(z-1,1)^2.

Passo 1

O enunciado nos dá uma sequência causal e[k] com transformada de Z E[z] e pede, para cada caso:
– (a)–(e) o valor final limktoinftye[k] usando o teorema do valor final;
– (b)–(e) a conferência calculando Z^-1E[z].
Os conteúdos que vamos usar são o teorema do valor final para Z e a transformada inversa padrão de funções da forma tfracz(z-a)^2.

Passo 2

Teorema do valor final (causalidade e convergência assumidas):
limktoinftye[k] = limzto1z-1z;E[z]

Passo 3

Fórmula de inversa útil: para ;ainC e sequência causal,
Z^-1!ltfracz(z-a)^2r = 0,&k=0, k,a^,k-1,&k>=1

Passo 4

Caso (a)–(b): E[z]=dfracz(z+1)^2, logo a=-1.
  1. Valor final:
limzto1z-1z,z(z+1)^2 =limzto1z-1(z+1)^2 =0
  1. Inversa:
e[0]=0, e[k]=k,(-1)^k-1,;k>=1

Passo 5

Caso (c): E[z]=dfracz(z-1)^2, aqui a=1.
  1. Valor final:
limzto1z-1z,z(z-1)^2 =limzto1z-1(z-1)^2 =limzto11z-1 =infty
  1. Inversa:
e[0]=0, e[k]=kcdot1^,k-1=k,;k>=1

Passo 6

Caso (d): E[z]=dfracz(z-0,9)^2, então a=0,9.
  1. Valor final:
limzto1z-1z,z(z-0,9)^2 =limzto1z-1(z-0,9)^2 =0
  1. Inversa:
e[0]=0, e[k]=k,(0,9)^k-1,;k>=1,
e portanto limktoinftye[k]=0.

Passo 7

Caso (e): E[z]=dfracz(z-1,1)^2, com a=1,1.
  1. Valor final:
limzto1z-1z,z(z-1,1)^2 =limzto1z-1(z-1,1)^2 =0
  1. Inversa:
e[0]=0, e[k]=k,(1,1)^k-1,;k>=1,
que cresce sem limite.

Resposta

(a) limktoinftye[k]=0.
(b) e[0]=0,;e[k]=k(-1)^k-1.
(c) limktoinftye[k]=infty,;e[0]=0,;e[k]=k.
(d) limktoinftye[k]=0,;e[0]=0,;e[k]=k(0,9)^k-1.
(e) limktoinftye[k]=0,;e[0]=0,;e[k]=k(1,1)^k-1.

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