y[0]=y[1]=0.
a) Determine analiticamente (via transformada Z) y[k], em função de k, e obtenha os valores de y[k], para 0 <= k <= 4;
b) Obtenha a solução numérica direta da EaD para 0 <= k <= 4, e compare o resultado com os obtidos no item (a);
c) Repita os itens (a) e (b) para e[k]=0, para qualquer valor de k, e y[0]=1 e y[1]=-2;
d) Escreva um código em Matlab para realizar as 50 primeiras iterações da EaD. Verifique o resultado o item (b).
Passo 1
O enunciado dá a equação a diferenças
y[k+2]-0,75,y[k+1]+0,125,y[k]=e[k]
com e[0]=0, e[k]=1 para k>=1 e condições iniciais y[0]=y[1]=0.
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares de coeficientes constantes via transformada Z (para a parte forçada) e via equação característica (para a parte homogênea). Em (a) usamos Z, em (b) iteramos diretamente, em (c) fazemos a parte homogênea, e em (d) escrevemos um código Matlab.
Passo 2
Aplicamos Zcdot a ambos os lados (com Y(z)=sumk>=0y[k]z^-k e E(z)=sumk>=0e[k]z^-k). Usando y[0]=y[1]=0 obtemos
(z^2-0,75z+0,125),Y(z)=E(z)
Como E(z)=sumk=1^inftyz^-k=z^-1/(1-z^-1)=1/(z-1), segue
Y(z)=1(z-1)(z-0,5)(z-0,25)
Fazendo frações parciais no domínio de z obtemos
Y(z)=8/3z-1-8z-0,5+16/3z-0,25
Passo 3
Invertendo termo a termo, sabendo que Z^-1!ltfrac1z-ar=a^,k-1u[k-1], a solução para k>=0 é
Iterando direto o caso homogêneo (e[k]=0) confirma esses mesmos valores numéricos.
Passo 7
Um código Matlab simples para iterações (e verificar o item b) é:
N\(=50\);
\(y=z\)eros(\(1\),N\(+1\));
\(e=z\)eros(\(1\),N\(+1\));
e(\(2\):end)\(=1\); %e[\(0\)]\(=\)e(\(1\))\(=0\) em Matlab, e[k]\(=1\) para k>\(=1\)
y(\(1\))\(=0\); y(\(2\))\(=0\); %y[\(0\)]\(=\)y(\(1\)), y[\(1\)]\(=\)y(\(2\))
for k\(=1\):N-\(1\)
y(k\(+2\))\(=0.75\)*y(k\(+1\))-\(0.125\)*y(k)\(+\)e(k);
end
disp(y(\(1\):\(5\))) % mostra y[\(0\)..\(4\)]
Resposta
(a) , com .
(b) Iteração direta dá os mesmos valores.
(c) Caso homogêneo , com .
(d) Código Matlab acima.