Considere a EaD:
y[k+2]-0,75 y[k+1]+0,125 y[k]=e[k]
em que:
  • e[k]=l0, para k=0, 1, para k >= 1 ;
  • y[0]=y[1]=0.
    a) Determine analiticamente (via transformada Z) y[k], em função de k, e obtenha os valores de y[k], para 0 <= k <= 4;
    b) Obtenha a solução numérica direta da EaD para 0 <= k <= 4, e compare o resultado com os obtidos no item (a);
    c) Repita os itens (a) e (b) para e[k]=0, para qualquer valor de k, e y[0]=1 e y[1]=-2;
    d) Escreva um código em Matlab para realizar as 50 primeiras iterações da EaD. Verifique o resultado o item (b).

Passo 1

O enunciado dá a equação a diferenças
y[k+2]-0,75,y[k+1]+0,125,y[k]=e[k]
com e[0]=0, e[k]=1 para k>=1 e condições iniciais y[0]=y[1]=0.
O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares de coeficientes constantes via transformada Z (para a parte forçada) e via equação característica (para a parte homogênea). Em (a) usamos Z, em (b) iteramos diretamente, em (c) fazemos a parte homogênea, e em (d) escrevemos um código Matlab.

Passo 2

Aplicamos Zcdot a ambos os lados (com Y(z)=sumk>=0y[k]z^-k e E(z)=sumk>=0e[k]z^-k). Usando y[0]=y[1]=0 obtemos
(z^2-0,75z+0,125),Y(z)=E(z)
Como E(z)=sumk=1^inftyz^-k=z^-1/(1-z^-1)=1/(z-1), segue
Y(z)=1(z-1)(z-0,5)(z-0,25)
Fazendo frações parciais no domínio de z obtemos
Y(z)=8/3z-1-8z-0,5+16/3z-0,25

Passo 3

Invertendo termo a termo, sabendo que
Z^-1!ltfrac1z-ar=a^,k-1u[k-1], a solução para k>=0 é
y[k]=83,(1)^,k-1u[k-1];-;8,(0,5)^,k-1u[k-1];+;163,(0,25)^,k-1u[k-1]
Calculando de k=0 a 4:
y[0]=0,;y[1]=0,;y[2]=0,;y[3]=1,;y[4]=1,75

Passo 4

Iterando direto
;y[k+2]=0,75,y[k+1]-0,125,y[k]+e[k], com y[0]=y[1]=0:
para k=0 vem y[2]=0;
k=1 y[3]=1;
k=2 y[4]=1,75.
Coincide com o item (a).

Passo 5

Agora em (c) temos e[k]=0 forall k e y[0]=1, y[1]=-2. A parte homogênea tem equação característica
r^2-0,75r+0,125=0Longrightarrow r=0,5,;0,25
Logo
y[k]=A,(0,5)^k+B,(0,25)^k
Impondo y[0]=A+B=1 e y[1]=0,5A+0,25B=-2 resulta A=-9, B=10. Portanto
y[k]=-9,(0,5)^k+10,(0,25)^k,
que para k=0ldots4 vale
y[0]=1,;y[1]=-2,;y[2]=-1,625,;y[3]=-0,96875,;y[4]=-0,5234375

Passo 6

Iterando direto o caso homogêneo ( e[k]=0) confirma esses mesmos valores numéricos.

Passo 7

Um código Matlab simples para iterações (e verificar o item b) é:
N\(=50\);
\(y=z\)eros(\(1\),N\(+1\));
\(e=z\)eros(\(1\),N\(+1\));
e(\(2\):end)\(=1\);    %e[\(0\)]\(=\)e(\(1\))\(=0\) em Matlab, e[k]\(=1\) para k>\(=1\)
y(\(1\))\(=0\); y(\(2\))\(=0\); %y[\(0\)]\(=\)y(\(1\)), y[\(1\)]\(=\)y(\(2\))
for k\(=1\):N-\(1\)
    y(k\(+2\))\(=0.75\)*y(k\(+1\))-\(0.125\)*y(k)\(+\)e(k);
end
disp(y(\(1\):\(5\)))   % mostra y[\(0\)..\(4\)]

Resposta

(a) , com
.
(b) Iteração direta dá os mesmos valores.
(c) Caso homogêneo , com
.
(d) Código Matlab acima.

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