- (2.5) Considere a seguinte equação diferencial autônoma:
em que
e
. Esta é uma EDO da forma
. Esboce o gráfico de
em função de
, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique-os como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty. Se
representa o número de indivíduos de uma população, o que pode acontecer com esta população depois de muito tempo?
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial autônoma
com parâmetros
e
. As perguntas são:
- Esboçar o gráfico de
em função de , onde . - Determinar os pontos críticos (equilíbrios) — ou seja, resolver
. - Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
- Desenhar a reta de fase (seta mostrando evolução de
sobre a linha das ordenadas) e esboçar vários gráficos solução no plano . - Interpretar, se
é o número de indivíduos, o que pode acontecer com a população depois de muito tempo.
Informações relevantes dadas: a função é autônoma (depende só de
),
, e
. Os valores de
e
são raízes potenciais porque aparecem nos fatores
e
. A resolução começa a seguir.
Passo 2
Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo
.
Temos
Como
, os zeros ocorrem quando algum fator é zero. Logo as soluções são:
Portanto os pontos críticos são
.
Passo 3
Estudar o sinal de
em cada intervalo para decidir o sentido das setas na reta de fase (isso também nos dá estabilidade por análise qualitativa).
Primeiro observe a ordem dos pontos:
. Vamos ver o sinal de cada fator em cada intervalo:
- Para
: temos , (porque ), e . Assim e . Então
Portanto em
temos
(soluções crescem, setas para a direita).
- Para
: todos os fatores , , . Então produto interno é positivo e
Logo em
temos
(soluções decrescem, setas para a esquerda).
- Para
: temos , (porque ), . O produto é negativo; então
Logo em
temos
(soluções crescem, setas para a direita).
- Para
: temos , , . O produto interno é positivo e então
Portanto em
temos
(soluções decrescem, setas para a esquerda).
Resumo dos sinais:
Passo 4
Classificar os equilíbrios usando a análise de sinal (e confirmar pela linearização).
Regra prática (intuitiva): se as setas apontam para o equilíbrio por ambos os lados, ele é atraente (assintoticamente estável); se apontam para fora por ambos os lados, é repulsor (instável); se um lado atrai e o outro repele, é semiestável.
-
Em
: - À esquerda (
) temos (setas para a direita, aproximando-se de ). - À direita (
) temos (setas para a esquerda, aproximando-se de ).
Assim as setas apontam parade ambos os lados → é atraente. É portanto assintoticamente estável.
Confirmação por linearização: calcule. Primeiro expandindo dá LogoAvaliando em: econfirma que é assintoticamente estável (perturbações decaem exponencialmente na aproximação linear). - À esquerda (
-
Em
: - À esquerda (
) temos (setas para a esquerda, afastando-se de ). - À direita (
) temos (setas para a direita, afastando-se de ).
Assim as setas apontam para fora →é instável (repulsor).
Confirmação pela derivada: avaliandoem , (porque), então , consistente com instabilidade. - À esquerda (
-
Em
: - À esquerda (
) temos (setas para a direita, aproximando-se de ). - À direita (
) temos (setas para a esquerda, aproximando-se de ).
Assim as setas apontam parade ambos os lados → é assintoticamente estável.
Pela derivada:(pois), confirmando estabilidade assintótica. - À esquerda (
Não há equilíbrios semiestáveis nessa situação — cada equilíbrio é claramente atraente ou repulsor.
Passo 5
Esboçar qualitativamente o gráfico de
, a reta de fase e as soluções no plano
, e explicar o comportamento temporal.
- Gráfico de
versus :
-
é um polinômio de grau 3 (cúbico) com coeficiente líder (negativo), logo para temos e para temos . - Cruzamentos com o eixo
ocorrem em . - Entre as raízes o sinal segue o esquema do Passo 3: + (à esquerda de 0), − (entre 0 e T), + (entre T e K), − (à direita de K).
Um esboço mental: subindo da esquerda, cruza o eixo emdescendo, permanece negativo até , cruza e fica positivo até , e depois vai para . (Na resolução escrita, desenhe um cúbico com essas três interseções e os sinais conforme dito.)
- Reta de fase (linha vertical com
e setas indicando sentido do tempo):
- Em
: seta para a direita. - Em
: seta para a esquerda. - Em
: seta para a direita. - Em
: seta para a esquerda.
Marque pontos; coloque setas apontando para e para (estes são atraentes) e setas saindo de (repulsor).
- Esboço de soluções
no plano :
- Se
, então e decresce e tende para quando . A queda aproximada perto de é exponencial (pela linearização com ). - Se
, então e cresce e tende para quando . Aproximação exponencial perto de com taxa . - Se
, decai até . - Se
(físico: população negativa não faz sentido), matematicamente aumenta para . - Se
exatamente, a solução permanece em (equilíbrio), mas é instável: qualquer pequena perturbação para valores menores leva à extinção (tendência a ), para maiores leva ao sucesso (tendência a ).
Esses esboços mostram curvas monótonas em
que se aproximam assintoticamente dos equilíbrios estáveis; perto de equilíbrios estáveis o comportamento é aproximadamente exponencial (decresce/crece como
na linearização).
Passo 6
Interpretação ecológica (o que acontece com a população depois de muito tempo).
- O ponto
representa extinção e é um estado estável: populações inicialmente pequenas, com , decaem até a extinção. Portanto existe um limiar crítico que separa destino extinção / sobrevivência. - O ponto
representa uma capacidade de suporte (um equilíbrio positivo estável): populações com crescem e se estabilizam em torno de . - O ponto
é um limiar instável: se a população está exatamente em permanece lá, mas qualquer pequena perturbação leva ou à extinção (se cair abaixo) ou ao crescimento até (se ficar acima). - O parâmetro
controla a rapidez com que essas tendências acontecem (maior → respostas mais rápidas), mas não muda os pontos de equilíbrio nem sua estabilidade qualitativa.
Em palavras: há um efeito de limiar (tipo “Allee threshold”): populações abaixo de
tendem à extinção; populações acima de
tendem ao nível de saturação
.
Resposta
Pontos de equilíbrio:
,
,
.\n
Classificação: é assintoticamente estável;
é instável;
é assintoticamente estável.\n
Reta de fase (sentidos): para
(setas para a direita); para
(setas para a esquerda); para
(setas para a direita); para
(setas para a esquerda).\n
Comportamento da população a longo prazo: se a população tende a
(extinção); se
a população tende a
(capacidade de suporte);
é instável (qualquer pequena perturbação leva a 0 ou a
).
Classificação:
Reta de fase (sentidos): para
Comportamento da população a longo prazo: se