1. (2.5) Considere a seguinte equação diferencial autônoma:
\frac{d y}{d t}=-r\left(1-\frac{y}{T}\right)\left(1-\frac{y}{K}\right) y,
em que r>0 e 0<T<K. Esta é uma EDO da forma d y / d t=f(y). Esboce o gráfico de f(y) em função de y, determine os pontos críticos (de equilíbrio) e classifique-os como assintoticamente estável, instável ou semiestável. Desenhe a reta de fase e esboce diversos gráficos de soluções no plano ty. Se y(t) representa o número de indivíduos de uma população, o que pode acontecer com esta população depois de muito tempo?

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial autônoma
\frac{d y}{d t}=-r\left(1-\frac{y}{T}\right)\left(1-\frac{y}{K}\right) y,
com parâmetros r>0 e 0<T<K. As perguntas são:
  1. Esboçar o gráfico de f(y) em função de y, onde f(y)=-r\left(1-\dfrac{y}{T}\right)\left(1-\dfrac{y}{K}\right) y.
  2. Determinar os pontos críticos (equilíbrios) — ou seja, resolver f(y)=0.
  3. Classificar cada equilíbrio como assintoticamente estável, instável ou semiestável.
  4. Desenhar a reta de fase (seta mostrando evolução de y sobre a linha das ordenadas) e esboçar vários gráficos solução no plano t\!y.
  5. Interpretar, se y(t) é o número de indivíduos, o que pode acontecer com a população depois de muito tempo.
Informações relevantes dadas: a função é autônoma (depende só de y), r>0, e 0<T<K. Os valores de T e K são raízes potenciais porque aparecem nos fatores \left(1-\dfrac{y}{T}\right) e \left(1-\dfrac{y}{K}\right). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Encontrar os pontos de equilíbrio resolvendo f(y)=0.
Temos
f(y)=-r\left(1-\frac{y}{T}\right)\left(1-\frac{y}{K}\right) y.
Como r>0, os zeros ocorrem quando algum fator é zero. Logo as soluções são:
y=0,\quad 1-\frac{y}{T}=0\Rightarrow y=T,\quad 1-\frac{y}{K}=0\Rightarrow y=K.
Portanto os pontos críticos são \,y=0,\;y=T,\;y=K\,.

Passo 3

Estudar o sinal de f(y) em cada intervalo para decidir o sentido das setas na reta de fase (isso também nos dá estabilidade por análise qualitativa).
Primeiro observe a ordem dos pontos: 0<T<K. Vamos ver o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • Para y<0: temos y<0, 1-\dfrac{y}{T}>1>0 (porque \dfrac{y}{T}<0), e 1-\dfrac{y}{K}>0. Assim \left(1-\dfrac{y}{T}\right)\left(1-\dfrac{y}{K}\right)>0 e y<0. Então
f(y)=-r\cdot(\text{positivo})\cdot(\text{negativo}) = \text{positivo}.
Portanto em y<0 temos f(y)>0 (soluções crescem, setas para a direita).
  • Para 0<y<T: todos os fatores y>0, 1-\dfrac{y}{T}>0, 1-\dfrac{y}{K}>0. Então produto interno é positivo e
f(y)=-r\cdot(\text{positivo})=\text{negativo}.
Logo em 0<y<T temos f(y)<0 (soluções decrescem, setas para a esquerda).
  • Para T<y<K: temos y>0, 1-\dfrac{y}{T}<0 (porque y>T), 1-\dfrac{y}{K}>0. O produto \left(1-\dfrac{y}{T}\right)\left(1-\dfrac{y}{K}\right) é negativo; então
f(y)=-r\cdot(\text{negativo})=\text{positivo}.
Logo em T<y<K temos f(y)>0 (soluções crescem, setas para a direita).
  • Para y>K: temos y>0, 1-\dfrac{y}{T}<0, 1-\dfrac{y}{K}<0. O produto interno é positivo e então
f(y)=-r\cdot(\text{positivo})=\text{negativo}.
Portanto em y>K temos f(y)<0 (soluções decrescem, setas para a esquerda).
Resumo dos sinais:
\begin{array}{c} y<0:\\ f(y)>0,\\[4pt] 0<y<T:\\ f(y)<0,\\[4pt] T<y<K:\\ f(y)>0,\\[4pt] y>K:\\ f(y)<0. \end{array}]

Passo 4

Classificar os equilíbrios usando a análise de sinal (e confirmar pela linearização).
Regra prática (intuitiva): se as setas apontam para o equilíbrio por ambos os lados, ele é atraente (assintoticamente estável); se apontam para fora por ambos os lados, é repulsor (instável); se um lado atrai e o outro repele, é semiestável.
  • Em y=0:
    • À esquerda ( y<0) temos f(y)>0 (setas para a direita, aproximando-se de 0).
    • À direita ( 0<y<T) temos f(y)<0 (setas para a esquerda, aproximando-se de 0).
      Assim as setas apontam para y=0 de ambos os lados → y=0 é atraente. É portanto assintoticamente estável.
    Confirmação por linearização: calcule f'(y). Primeiro expandindo f(y)
    f(y)=-r y + r\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{K}\right)y^2 - r\frac{1}{TK}y^3.
    Logo
    f'(y)=-r + 2r\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{K}\right)y - 3r\frac{1}{TK}y^2.
    Avaliando em y=0:
    f'(0)=-r<0,
    e f'(0)<0 confirma que y=0 é assintoticamente estável (perturbações decaem exponencialmente na aproximação linear).
  • Em y=T:
    • À esquerda ( 0<y<T) temos f(y)<0 (setas para a esquerda, afastando-se de T).
    • À direita ( T<y<K) temos f(y)>0 (setas para a direita, afastando-se de T).
      Assim as setas apontam para fora → y=T é instável (repulsor).
    Confirmação pela derivada: avaliando f'(y) em y=T,
    f'(T)=r\left(1-\frac{T}{K}\right)>0
    (porque T<K), então f'(T)>0, consistente com instabilidade.
  • Em y=K:
    • À esquerda ( T<y<K) temos f(y)>0 (setas para a direita, aproximando-se de K).
    • À direita ( y>K) temos f(y)<0 (setas para a esquerda, aproximando-se de K).
      Assim as setas apontam para K de ambos os lados → y=K é assintoticamente estável.
    Pela derivada:
    f'(K)=r\left(1-\frac{K}{T}\right)<0
    (pois \dfrac{K}{T}>1), confirmando estabilidade assintótica.
Não há equilíbrios semiestáveis nessa situação — cada equilíbrio é claramente atraente ou repulsor.

Passo 5

Esboçar qualitativamente o gráfico de f(y), a reta de fase e as soluções no plano t\!y, e explicar o comportamento temporal.
  1. Gráfico de f(y) versus y:
  • f(y) é um polinômio de grau 3 (cúbico) com coeficiente líder -r/(TK) (negativo), logo para y\to+\infty temos f(y)\to -\infty e para y\to -\infty temos f(y)\to +\infty.
  • Cruzamentos com o eixo y ocorrem em y=0,\;T,\;K.
  • Entre as raízes o sinal segue o esquema do Passo 3: + (à esquerda de 0), − (entre 0 e T), + (entre T e K), − (à direita de K).
    Um esboço mental: subindo da esquerda, cruza o eixo em 0 descendo, permanece negativo até T, cruza e fica positivo até K, e depois vai para -\infty. (Na resolução escrita, desenhe um cúbico com essas três interseções e os sinais conforme dito.)
  1. Reta de fase (linha vertical com y e setas indicando sentido do tempo):
  • Em y<0: seta para a direita.
  • Em 0<y<T: seta para a esquerda.
  • Em T<y<K: seta para a direita.
  • Em y>K: seta para a esquerda.
    Marque pontos 0,T,K; coloque setas apontando para 0 e para K (estes são atraentes) e setas saindo de T (repulsor).
  1. Esboço de soluções y(t) no plano t\!y:
  • Se y(0)\in(0,T), então f(y)<0 e y(t) decresce e tende para 0 quando t\to+\infty. A queda aproximada perto de 0 é exponencial (pela linearização com f'(0)=-r).
  • Se y(0)\in(T,K), então f(y)>0 e y(t) cresce e tende para K quando t\to+\infty. Aproximação exponencial perto de K com taxa |f'(K)|.
  • Se y(0)>K, y(t) decai até K.
  • Se y(0)<0 (físico: população negativa não faz sentido), matematicamente y(t) aumenta para 0.
  • Se y(0)=T exatamente, a solução permanece em T (equilíbrio), mas é instável: qualquer pequena perturbação para valores menores leva à extinção (tendência a 0), para maiores leva ao sucesso (tendência a K).
Esses esboços mostram curvas monótonas em t que se aproximam assintoticamente dos equilíbrios estáveis; perto de equilíbrios estáveis o comportamento é aproximadamente exponencial (decresce/crece como e^{f'(y^*)t} na linearização).

Passo 6

Interpretação ecológica (o que acontece com a população depois de muito tempo).
  • O ponto y=0 representa extinção e é um estado estável: populações inicialmente pequenas, com 0<y(0)<T, decaem até a extinção. Portanto existe um limiar crítico T que separa destino extinção / sobrevivência.
  • O ponto y=K representa uma capacidade de suporte (um equilíbrio positivo estável): populações com y(0)>T crescem e se estabilizam em torno de K.
  • O ponto y=T é um limiar instável: se a população está exatamente em T permanece lá, mas qualquer pequena perturbação leva ou à extinção (se cair abaixo) ou ao crescimento até K (se ficar acima).
  • O parâmetro r>0 controla a rapidez com que essas tendências acontecem (maior r → respostas mais rápidas), mas não muda os pontos de equilíbrio nem sua estabilidade qualitativa.
Em palavras: há um efeito de limiar (tipo “Allee threshold”): populações abaixo de T tendem à extinção; populações acima de T tendem ao nível de saturação K.

Resposta

Pontos de equilíbrio: y=0, y=T, y=K.\n
Classificação: y=0 é assintoticamente estável; y=T é instável; y=K é assintoticamente estável.\n
Reta de fase (sentidos): para y<0 \,f(y)>0 (setas para a direita); para 0<y<T \,f(y)<0 (setas para a esquerda); para T<y<K \,f(y)>0 (setas para a direita); para y>K \,f(y)<0 (setas para a esquerda).\n
Comportamento da população a longo prazo: se 0<y(0)<T a população tende a 0 (extinção); se y(0)>T a população tende a K (capacidade de suporte); y(0)=T é instável (qualquer pequena perturbação leva a 0 ou a K).

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