Sistema massa-mola sem amortecimento: Um sistema massa-mola sem amortecimento tem
e
com posição inicial
e velocidade
Encontre a posição em qualquer instante e os três primeiros tempos positivos em que a massa volta para o equilibrio. (R.:
. Os três primeiros tempos positivos em que retorna ao equilibrio
:
Passo 1
O enunciado dá um sistema massa-mola sem amortecimento com as seguintes informações e pede a posição em qualquer instante e os três primeiros tempos positivos em que a massa volta ao equilíbrio:
- Massa:
. - Constante da mola:
. - Posição inicial:
. - Velocidade inicial:
.
O que precisamos encontrar:
- A função
que descreve a posição da massa para todo . - Os três primeiros tempos positivos
tais que (isto é, a massa passa pelo equilíbrio).
Passo 2
Modelagem do problema (como montamos a equação que vamos resolver).
- A mola exerce uma força proporcional ao deslocamento e apontando para o equilíbrio: isto é a Lei de Hooke, que diz que a força elástica é
. Aqui o sinal negativo indica que a força tende a reduzir o deslocamento. - A segunda lei de Newton diz que
. Como só existe a força da mola (sem amortecimento nem outra força externa), obtemos a equação
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Substituímos os valores numéricos
e
na equação para ficar explícita:
ou simplesmente
É útil definir a frequência angular
por
Com isso a equação fica na forma familiar
com
.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial por método clássico (equação característica).
- Para uma equação
procuramos soluções do tipo . Substituindo obtemos a equação característica
- No nosso caso
, então
- Quando os raízes são complexas conjugadas
, a solução geral real é uma combinação de seno e cosseno:
Substituindo
obtemos
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicando as condições iniciais para encontrar
e
.
- Primeiro, use
. Avaliando em :
Como
, segue que
.
- Agora precisamos de
. Calcule a derivada . Derivando termo a termo (lembrando que e ):
- Avaliando em
e lembrando que :
Como
, temos
e portanto
.
Passo 6
Escrevendo a solução final da posição e verificando interpretação física.
- Com
e , a posição em função do tempo é
- Comentário didático: isto significa um movimento harmônico simples de amplitude
, frequência angular e período
Se quiser pensar em termos de amplitude-fase, a forma
também cobre o caso; aqui
e
.
Passo 7
Encontrando os tempos positivos em que a massa volta ao equilíbrio (
).
- Precisamos resolver
para . - As soluções gerais de
são com . Assim
- Para tempos positivos tomamos
. Os três primeiros correspondem a , portanto: