Sistema massa-mola sem amortecimento: Um sistema massa-mola sem amortecimento tem m=1 e k=9 com posição inicial s(0)=0 e velocidade s^{\prime}(0)=3 Encontre a posição em qualquer instante e os três primeiros tempos positivos em que a massa volta para o equilibrio. (R.: s(t)=\sin (3 t). Os três primeiros tempos positivos em que retorna ao equilibrio (s=0) : \left.t=\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \pi.\right)

Passo 1

O enunciado dá um sistema massa-mola sem amortecimento com as seguintes informações e pede a posição em qualquer instante e os três primeiros tempos positivos em que a massa volta ao equilíbrio:
  • Massa: m=1.
  • Constante da mola: k=9.
  • Posição inicial: s(0)=0.
  • Velocidade inicial: s'(0)=3.
    O que precisamos encontrar:
  1. A função s(t) que descreve a posição da massa para todo t.
  2. Os três primeiros tempos positivos t>0 tais que s(t)=0 (isto é, a massa passa pelo equilíbrio).

Passo 2

Modelagem do problema (como montamos a equação que vamos resolver).
  • A mola exerce uma força proporcional ao deslocamento e apontando para o equilíbrio: isto é a Lei de Hooke, que diz que a força elástica é F_{\text{mola}} = -k\,s(t). Aqui o sinal negativo indica que a força tende a reduzir o deslocamento.
  • A segunda lei de Newton diz que m\,s''(t) = \text{soma das forças}ç. Como só existe a força da mola (sem amortecimento nem outra força externa), obtemos a equação
m\,s''(t) + k\,s(t) = 0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Substituímos os valores numéricos m=1 e k=9 na equação para ficar explícita:
1\cdot s''(t) + 9\,s(t) = 0,
ou simplesmente
s''(t) + 9\,s(t) = 0.
É útil definir a frequência angular \omega por
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{9}{1}} = 3.
Com isso a equação fica na forma familiar
s''(t) + \omega^2 s(t) = 0,
com \omega=3.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial por método clássico (equação característica).
  • Para uma equação s'' + \omega^2 s = 0 procuramos soluções do tipo s(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2 + \omega^2 = 0.
  • No nosso caso \omega^2=9, então
r^2 + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad r^2 = -9 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 3i.
  • Quando os raízes são complexas conjugadas \pm i\omega, a solução geral real é uma combinação de seno e cosseno:
s(t) = C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t).
Substituindo \omega=3 obtemos
s(t) = C\cos(3t) + D\sin(3t),
onde C e D são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicando as condições iniciais para encontrar C e D.
  • Primeiro, use s(0)=0. Avaliando s(t) em t=0:
s(0) = C\cos(0) + D\sin(0) = C\cdot 1 + D\cdot 0 = C.
Como s(0)=0, segue que C=0.
  • Agora precisamos de D. Calcule a derivada s'(t). Derivando termo a termo (lembrando que \frac{d}{dt}\cos(3t)=-3\sin(3t) e \frac{d}{dt}\sin(3t)=3\cos(3t)):
s'(t) = -3C\sin(3t) + 3D\cos(3t).
  • Avaliando em t=0 e lembrando que C=0:
s'(0) = -3C\sin(0) + 3D\cos(0) = 0 + 3D\cdot 1 = 3D.
Como s'(0)=3, temos 3D = 3 e portanto D=1.

Passo 6

Escrevendo a solução final da posição e verificando interpretação física.
  • Com C=0 e D=1, a posição em função do tempo é
s(t) = \sin(3t).
  • Comentário didático: isto significa um movimento harmônico simples de amplitude 1, frequência angular \omega=3 e período
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3}.
Se quiser pensar em termos de amplitude-fase, a forma A\sin(\omega t + \varphi) também cobre o caso; aqui A=1 e \varphi=0.

Passo 7

Encontrando os tempos positivos em que a massa volta ao equilíbrio ( s(t)=0).
  • Precisamos resolver \sin(3t)=0 para t>0.
  • As soluções gerais de \sin(3t)=0 são 3t = n\pi com n\in\mathbb{Z}. Assim
t = \frac{n\pi}{3}.
  • Para tempos positivos tomamos n=1,2,3,\dots. Os três primeiros t>0 correspondem a n=1,2,3, portanto:
t = \frac{\pi}{3},\quad t = \frac{2\pi}{3},\quad t = \pi.

Resposta

s(t)=\sin(3t)\n \displaystyle t=\frac{\pi}{3}\n \displaystyle t=\frac{2\pi}{3}\n \displaystyle t=\pi

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