Sistema massa-mola amortecido: Um sistema massa-mola amortecido com constante \gamma=2 e submetido a uma força externa 10 \cos (3 t). Se m=1 e a constante da mola é k=5 determine a posição em qualquer instante t se s(0)=0 e s^{\prime}(0)=-1 .\left(\mathrm{R} .: s(t)=e^{-t}\left(-\frac{24}{13} \sin (2 t)+\frac{10}{13} \cos (2 t)\right)+\right. \left.\frac{15}{13} \sin (3 t)-\frac{10}{13} \cos (3 t)\right)

Passo 1

O que o problema pede: determinar a posição s(t) para todo instante t de um oscilador massa-mola amortecido, dadas as condições iniciais.
Informações fornecidas:
m=1,\qquad \gamma=2,\qquad k=5,
a força externa é \;10\cos(3t)\; e as condições iniciais são
s(0)=0,\qquad s'(0)=-1.
Objetivo explícito: encontrar a função s(t) que satisfaz a equação de movimento com esses dados.

Passo 2

Escrever a equação diferencial do movimento e interpretar cada termo.
Para um sistema massa-mola amortecido com massa m, coeficiente de amortecimento \gamma, constante da mola k e força externa F(t), a equação é
m s''(t) + \gamma s'(t) + k s(t) = F(t).
Aqui s(t) é a posição da massa em função do tempo, s'(t) a velocidade e s''(t) a aceleração. Substituindo m=1, \gamma=2, k=5 e F(t)=10\cos(3t), obtemos a EDO a resolver:
s''(t) + 2 s'(t) + 5 s(t) = 10\cos(3t).

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada (parte transiente).
A equação homogênea é
s'' + 2 s' + 5 s = 0.
Procuramos soluções da forma s(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 5 = 0.
Calculamos as raízes:
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i.
Como as raízes são complexas conjugadas r = -1 \pm 2i, a solução geral da homogênea é (fórmula padrão para raízes complexas):
s_h(t) = e^{-t}\big(A\cos(2t) + B\sin(2t)\big),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta: quando r=-\alpha\pm i\beta a solução homogênea tem a forma e^{-\alpha t}(C\cos\beta t + D\sin\beta t); aqui \alpha=1 e \beta=2.

Passo 4

Procurar uma solução particular para a força externa (parte forçada).
A força é \;10\cos(3t), que é uma combinação de senos e cossenos com frequência \omega=3. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular da forma
s_p(t) = a\cos(3t) + b\sin(3t),
onde a e b são constantes a determinar. Justificativa: ao aplicar derivadas, senos e cossenos de mesma frequência fecham entre si; então essa forma é suficiente.

Passo 5

Calcular s_p'' + 2 s_p' + 5 s_p e igualar a 10\cos(3t) para achar a e b.
Derivadas de s_p:
s_p'(t) = -3a\sin(3t) + 3b\cos(3t),
s_p''(t) = -9a\cos(3t) -9b\sin(3t).
Agora formar a combinação:
s_p'' + 2 s_p' + 5 s_p
Substituindo:
(-9a\cos3t -9b\sin3t) + 2(-3a\sin3t + 3b\cos3t) + 5(a\cos3t + b\sin3t).
Agrupando termos em \cos3t e \sin3t:
\big(-9a + 6b + 5a\big)\cos3t + \big(-9b -6a +5b\big)\sin3t
que simplifica para
(-4a + 6b)\cos3t + (-6a -4b)\sin3t.
Queremos isso igual a 10\cos3t + 0\cdot\sin3t. Assim obtemos o sistema linear para a,b:
\begin{cases} -4a + 6b = 10,\\[4pt] -6a -4b = 0. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema para a e b.
Da segunda equação:
-6a -4b = 0 \quad\Rightarrow\quad 6a +4b = 0 \quad\Rightarrow\quad 3a +2b = 0 \quad\Rightarrow\quad b = -\tfrac{3}{2}a.
Substituindo na primeira:
-4a + 6\Big(-\tfrac{3}{2}a\Big) = 10 \quad\Rightarrow\quad -4a -9a = 10 \quad\Rightarrow\quad -13a = 10.
Logo
a = -\tfrac{10}{13}.
E
b = -\tfrac{3}{2}a = -\tfrac{3}{2}\Big(-\tfrac{10}{13}\Big) = \tfrac{15}{13}.
Portanto a solução particular é
s_p(t) = -\tfrac{10}{13}\cos(3t) + \tfrac{15}{13}\sin(3t).

Passo 7

Escrever a solução geral combinando transiente e forçado.
A solução geral é
s(t) = s_h(t) + s_p(t) = e^{-t}\big(A\cos(2t) + B\sin(2t)\big) -\tfrac{10}{13}\cos(3t) + \tfrac{15}{13}\sin(3t).
Agora usamos as condições iniciais para determinar A e B.

Passo 8

Aplicar s(0)=0 para encontrar A.
Avaliar s(0):
s(0) = e^{0}\big(A\cos0 + B\sin0\big) -\tfrac{10}{13}\cos0 + \tfrac{15}{13}\sin0.
Como \cos0=1 e \sin0=0, isto é
s(0) = A - \tfrac{10}{13}.
Como s(0)=0, temos
A = \tfrac{10}{13}.

Passo 9

Calcular s'(t) explicitamente e aplicar s'(0)=-1 para encontrar B.
Primeiro derivamos a parte homogênea detalhadamente. Para
s_h(t)=e^{-t}\big(A\cos2t + B\sin2t\big),
usamos a regra do produto:
s_h'(t) = -e^{-t}\big(A\cos2t + B\sin2t\big) + e^{-t}\big(-2A\sin2t + 2B\cos2t\big).
Agrupando:
s_h'(t) = e^{-t}\big((-A + 2B)\cos2t + (-B - 2A)\sin2t\big).
A derivada da parte particular (já determinada a,b) é
s_p'(t) = -3a\sin3t + 3b\cos3t.
Com a=-\tfrac{10}{13}, b=\tfrac{15}{13}, temos
s_p'(t) = \tfrac{30}{13}\sin3t + \tfrac{45}{13}\cos3t.
Agora s'(t)=s_h'(t)+s_p'(t). Avaliando em t=0:
s'(0) = e^{0}\big((-A + 2B)\cos0 + (-B - 2A)\sin0\big) + \tfrac{30}{13}\sin0 + \tfrac{45}{13}\cos0.
Como \cos0=1,\; \sin0=0, isto simplifica para
s'(0) = -A + 2B + \tfrac{45}{13}.
Usando s'(0)=-1 e A=\tfrac{10}{13}, obtemos
- \tfrac{10}{13} + 2B + \tfrac{45}{13} = -1.
Somando os termos conhecidos:
2B + \tfrac{35}{13} = -1 \quad\Rightarrow\quad 2B = -1 - \tfrac{35}{13} = -\tfrac{13}{13} - \tfrac{35}{13} = -\tfrac{48}{13}.
Logo
B = -\tfrac{24}{13}.

Passo 10

Escrever a solução completa com os valores de A e B e simplificar a forma final.
Substituindo A=\tfrac{10}{13} e B=-\tfrac{24}{13} em s(t), obtemos
s(t) = e^{-t}\Big(\tfrac{10}{13}\cos2t - \tfrac{24}{13}\sin2t\Big) -\tfrac{10}{13}\cos3t + \tfrac{15}{13}\sin3t.
Reorganizando os termos forçados num pedido estético comum:
s(t) = e^{-t}\Big(-\tfrac{24}{13}\sin2t + \tfrac{10}{13}\cos2t\Big) + \tfrac{15}{13}\sin3t - \tfrac{10}{13}\cos3t.

Resposta

s(t)=e^{-t}\left(-\frac{24}{13}\sin(2t)+\frac{10}{13}\cos(2t)\right)+\frac{15}{13}\sin(3t)-\frac{10}{13}\cos(3t)

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