Sistema massa-mola amortecido: Um sistema massa-mola amortecido com constante
e submetido a uma força externa
. Se
e a constante da mola é
determine a posição em qualquer instante
se
e
Passo 1
O que o problema pede: determinar a posição
para todo instante
de um oscilador massa-mola amortecido, dadas as condições iniciais.
Informações fornecidas:
a força externa é
e as condições iniciais são
Objetivo explícito: encontrar a função
que satisfaz a equação de movimento com esses dados.
Passo 2
Escrever a equação diferencial do movimento e interpretar cada termo.
Para um sistema massa-mola amortecido com massa
, coeficiente de amortecimento
, constante da mola
e força externa
, a equação é
Aqui
é a posição da massa em função do tempo,
a velocidade e
a aceleração. Substituindo
,
,
e
, obtemos a EDO a resolver:
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada (parte transiente).
A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Calculamos as raízes:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é (fórmula padrão para raízes complexas):
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta: quando
a solução homogênea tem a forma
; aqui
e
.
Passo 4
Procurar uma solução particular para a força externa (parte forçada).
A força é
, que é uma combinação de senos e cossenos com frequência
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, tentamos uma solução particular da forma
onde
e
são constantes a determinar. Justificativa: ao aplicar derivadas, senos e cossenos de mesma frequência fecham entre si; então essa forma é suficiente.
Passo 5
Calcular
e igualar a
para achar
e
.
Derivadas de
:
Agora formar a combinação:
Substituindo:
Agrupando termos em
e
:
que simplifica para
Queremos isso igual a
. Assim obtemos o sistema linear para
:
Passo 6
Resolver o sistema para
e
.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Logo
E
Portanto a solução particular é
Passo 7
Escrever a solução geral combinando transiente e forçado.
A solução geral é
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 8
Aplicar
para encontrar
.
Avaliar
:
Como
e
, isto é
Como
, temos
Passo 9
Calcular
explicitamente e aplicar
para encontrar
.
Primeiro derivamos a parte homogênea detalhadamente. Para
usamos a regra do produto:
Agrupando:
A derivada da parte particular (já determinada
) é
Com
,
, temos
Agora
. Avaliando em
:
Como
, isto simplifica para
Usando
e
, obtemos
Somando os termos conhecidos:
Logo
Passo 10
Escrever a solução completa com os valores de
e
e simplificar a forma final.
Substituindo
e
em
, obtemos
Reorganizando os termos forçados num pedido estético comum: