Considere a seguinte equação diferencial:
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right)+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) y^{\prime}=0
a) Mostre que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO.
c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto ( 0,1 ), isto é, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)+\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr)\,y'=0
e pede: (a) mostrar que é exata, (b) encontrar a solução geral e (c) achar a solução que satisfaz y(0)=1. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, onde identificamos
M(x,y)=3x^{2}-2xy+2, \quad N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3
e usamos a condição de exatidão \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, em seguida buscamos a função potencial \psi(x,y).

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}-2xy+2) =-2x,
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(6y^{2}-x^{2}+3) =-2x.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a EDO é exata.

Passo 3

Procuramos \psi(x,y) tal que \psi_x=M. Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int(3x^{2}-2xy+2)\,dx =x^3 -x^2y+2x +h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora impomos \psi_y=N. Calculamos
\psi_y =\frac{\partial}{\partial y}(x^3 -x^2y+2x +h(y)) =-x^2 +h'(y)
e igualamos a N:
-x^2 +h'(y)=6y^2 -x^2+3 \;\Longrightarrow\; h'(y)=6y^2+3.
Integramos em y:
h(y)=\int(6y^2+3)\,dy =2y^3+3y +C_0.
O termo constante C_0 pode ser absorvido em C da solução geral.

Passo 5

A função potencial completa é
\psi(x,y) =x^3 -x^2y+2x +2y^3+3y.
A solução implícita geral é
\psi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; x^3 -x^2y+2x +2y^3+3y=C.

Passo 6

Para a condição y(0)=1 substituímos x=0, y=1 em \psi=C:
0^3 -0^2\cdot1+2\cdot0+2\cdot1^3+3\cdot1=C \;\Longrightarrow\; 2+3=C \;\Longrightarrow\; C=5.
Logo, a solução particular é
x^3 -x^2y+2x +2y^3+3y=5.

Resposta

a) A EDO é exata porque \frac{\partial M}{\partial y}=-2x e \frac{\partial N}{\partial x}=-2x.
b) A solução geral implícita é
x^3 -x^2y+2x +2y^3+3y=C.
c) A solução particular com y(0)=1 é
x^3 -x^2y+2x +2y^3+3y=5.

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