Considere a seguinte equação diferencial:
a) Mostre que é exata.
b) Encontre a solução geral da EDO.
c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto ( 0,1 ), isto é,
.
b) Encontre a solução geral da EDO.
c) Encontre a solução particular que passa pelo ponto ( 0,1 ), isto é,
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
e pede: (a) mostrar que é exata, (b) encontrar a solução geral e (c) achar a solução que satisfaz
. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas, onde identificamos
e usamos a condição de exatidão
, em seguida buscamos a função potencial
.
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Como
, a EDO é exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
. Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
e igualamos a
:
Integramos em
:
O termo constante
pode ser absorvido em
da solução geral.
Passo 5
A função potencial completa é
A solução implícita geral é
Passo 6
Para a condição
substituímos
,
em
:
Logo, a solução particular é
Resposta
a) A EDO é exata porque
e
.
b) A solução geral implícita é
b) A solução geral implícita é
c) A solução particular com
é