Considere a seguinte equação diferencial x+\left(x^{2} y+4 y\right) y^{\prime}=0.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante F=F(y) para torná-la exata.
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x + \bigl(x^{2}y + 4y\bigr)\,y' = 0
e pede: (a) mostrar que não é exata, (b) encontrar um fator integrante F=F(y), (c) achar a solução geral e (d) ajustar a constante para que y(1)=1. Vamos escrever na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = x, \quad N(x,y) = x^2y + 4y = y\,(x^2+4).

Passo 2

Para checar exatidão comparamos
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Temos
\frac{\partial M}{\partial y} = 0, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y(x^2+4)\bigr) = 2xy.
Como 0 \neq 2xy, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(y). A condição para depender só de y é
\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2xy - 0}{x} = 2y,
que de fato é função apenas de y. Logo
\frac{1}{\mu}\,\frac{d\mu}{dy} = 2y \;\implies\; \mu(y) = e^{\int 2y\,dy} = e^{y^2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por e^{y^2}, obtendo
x e^{y^2}\,dx + y(x^2+4)e^{y^2}\,dy = 0,
que agora é exata. Buscamos \Psi(x,y) tal que \Psi_x = x e^{y^2} e \Psi_y = y(x^2+4)e^{y^2}.
Integrando em x:
\Psi(x,y) = \int x e^{y^2}\,dx = \frac{x^2}{2}\,e^{y^2} + h(y).
Derivando em y e igualando a N\,e^{y^2}:
\Psi_y = \frac{x^2}{2}\cdot 2y\,e^{y^2} + h'(y) = x^2y\,e^{y^2} + h'(y) \overset{!}{=} y(x^2+4)e^{y^2},
logo h'(y) = 4y\,e^{y^2}. Integrando
h(y) = \int 4y\,e^{y^2}dy = 2\,e^{y^2}.
Assim
\Psi(x,y) = e^{y^2}\Bigl(\frac{x^2}{2} + 2\Bigr)
e a solução implícita geral é
\Psi(x,y) = C \quad\Longrightarrow\quad e^{y^2}\,(x^2 + 4) = C',
onde C'=2C é constante arbitrária.

Passo 5

Impondo y(1)=1 na solução
e^{1^2}\bigl(1^2+4\bigr) = C' \;\Longrightarrow\; 5e = C'.

Resposta

a) A equação não é exata porque \partial M/\partial y = 0 \neq 2xy = \partial N/\partial x.
b) Um fator integrante que depende só de y é \displaystyle F(y)=e^{y^2}.
c) A solução geral é
e^{y^2}\,(x^2+4)=C.
d) Para y(1)=1 a constante vale \displaystyle C=5e.

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