Considere a seguinte equação diferencial
.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante
para torná-la exata.
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos
.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: (a) mostrar que não é exata, (b) encontrar um fator integrante
, (c) achar a solução geral e (d) ajustar a constante para que
. Vamos escrever na forma
com
Passo 2
Para checar exatidão comparamos
Temos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
. A condição para depender só de
é
que de fato é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
que agora é exata. Buscamos
tal que
e
.
Integrando em :
Integrando em
Derivando em
e igualando a
:
logo
. Integrando
Assim
e a solução implícita geral é
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Impondo
na solução
Resposta
a) A equação não é exata porque
.
b) Um fator integrante que depende só de é
.
c) A solução geral é
b) Um fator integrante que depende só de
c) A solução geral é
d) Para
a constante vale
.