Considere a seguinte equação diferencial e^{x^{3}}+\operatorname{sen}(y)+\left(\frac{x}{3} \cos (y)\right) y^{\prime}=0.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante F=F(x) para torná-la exata.
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos y(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{x^{3}}+\operatorname{sen}(y)+\Bigl(\frac{x}{3}\cos(y)\Bigr)y'=0
e pede: (a) mostrar que não é exata, (b) achar fator integrante \!F=F(x), (c) encontrar a solução geral e (d) determinar a constante para y(0)=0. Vamos usar forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy =0
com M=e^{x^3}+\operatorname{sen}(y) e N=\frac{x}{3}\cos(y).

Passo 2

Para testar exatidão calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(y), \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{3}\cos(y).
Como \cos(y)\neq\frac{1}{3}\cos(y) em geral, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) só de x. A condição é
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} \quad\text{só em }x.ó
Calculando,
\frac{\cos(y)-\tfrac13\cos(y)}{\tfrac{x}{3}\cos(y)} =\frac{\tfrac23\cos(y)}{\tfrac{x}{3}\cos(y)} =\frac{2/3}{x/3}=\frac{2}{x}.
Logo \mu(x)=\exp\!\bigl(\int \tfrac{2}{x}\,dx\bigr)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos por x^{2}. Ficam
\widetilde M = x^{2}e^{x^{3}} + x^{2}\operatorname{sen}(y), \quad \widetilde N = x^{2}\cdot\frac{x}{3}\cos(y)=\frac{x^{3}}{3}\cos(y).
Agora \partial\widetilde M/\partial y = x^{2}\cos(y) e \partial\widetilde N/\partial x = x^{2}\cos(y),
logo é exata. Buscamos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial x} = \widetilde M.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int x^{2}e^{x^{3}}\,dx + \int x^{2}\operatorname{sen}(y)\,dx =\frac{1}{3}e^{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3}\operatorname{sen}(y) + h(y).
Então
\frac{\partial\Phi}{\partial y} =\frac{x^{3}}{3}\cos(y)+h'(y) \stackrel{!}{=}\widetilde N =\frac{x^{3}}{3}\cos(y),
implicando h'(y)=0. Logo a solução implícita é
\Phi(x,y)=\frac{1}{3}e^{x^{3}}+\frac{x^{3}}{3}\operatorname{sen}(y)=C.
Multiplicando tudo por 3,
e^{x^{3}} + x^{3}\operatorname{sen}(y)=K,
com K=3C.

Passo 5

Para y(0)=0 temos
e^{0} + 0^{3}\operatorname{sen}(0) =1 + 0 =1,
logo K=1.

Resposta

A solução geral implícita é
e^{x^{3}} + x^{3}\operatorname{sen}(y) = K.
Para y(0)=0 obtém-se K=1, ou seja
e^{x^{3}} + x^{3}\operatorname{sen}(y) =1.

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