Considere a seguinte equação diferencial
.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante
para torná-la exata.
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos
.
a) Mostre que não exata.
b) Encontre um fator integrante
c) Encontre a solução geral.
d) Para qual valor da constante, temos
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: (a) mostrar que não é exata, (b) achar fator integrante
, (c) encontrar a solução geral e (d) determinar a constante para
. Vamos usar forma diferencial
com
e
.
Passo 2
Para testar exatidão calculamos
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
só de
. A condição é
Calculando,
Logo
Passo 4
Multiplicamos por
. Ficam
Agora
e
,
logo é exata. Buscamos tal que
logo é exata. Buscamos
Integramos em
:
Então
implicando
. Logo a solução implícita é
Multiplicando tudo por 3,
com
.
Passo 5
Para
temos
logo
.
Resposta
A solução geral implícita é
Para
obtém-se
, ou seja