Considere a seguinte equação diferencial,
a) Mostre que a equação é exata.
b) Encontre a solução geral para equação.
b) Encontre a solução geral para equação.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede: (a) mostrar que ela é exata; (b) achar a solução geral.
O conteúdo aqui é equação exata. Para resolver, vamos reescrevê-la na forma
O conteúdo aqui é equação exata. Para resolver, vamos reescrevê-la na forma
verificar a condição de exatidão
, e então encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial:
Subtrai-se
de um lado e multiplica-se por
, obtendo
Assim, identificamos
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão:
Calculemos
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Encontramos a função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo
Passo 5
A solução geral vem de
. Portanto,
com
.