Considere a seguinte equação diferencial,
\frac{y}{x}+6 x+(\ln x-2) y^{\prime}=0 .
a) Mostre que a equação é exata.
b) Encontre a solução geral para equação.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{y}{x}+6x+(\ln x-2)\,y'=0
e pede: (a) mostrar que ela é exata; (b) achar a solução geral.
O conteúdo aqui é equação exata. Para resolver, vamos reescrevê-la na forma
M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,
verificar a condição de exatidão \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, e então encontrar uma função potencial F(x,y) tal que dF=0.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial:
Subtrai-se (\ln x-2)y' de um lado e multiplica-se por dx, obtendo
\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx+(\ln x-2)\,dy=0.
Assim, identificamos
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x, \quad N(x,y)=\ln x-2.

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
Calculemos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr) =\frac{1}{x},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(\ln x-2) =\frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Encontramos a função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y), \quad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
Integramos M em relação a x:
F(x,y)=\int\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx =y\ln x+3x^2+C(y).
Derivando em y e igualando a N:
\frac{\partial F}{\partial y} =\ln x + C'(y) \stackrel!=\ln x-2 \;\Longrightarrow\; C'(y)=-2 \;\Longrightarrow\; C(y)=-2y.
Logo
F(x,y)=y\ln x+3x^2-2y.

Passo 5

A solução geral vem de F(x,y)=\text{constante}. Portanto,
y\ln x-2y+3x^2=C,
com C\in\mathbb{R}.

Resposta

y\ln x-2y+3x^2=C.

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