Considere a seguinte equação diferencial
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
para
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é determinar se a afirmativa "
para
" é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem usando o método das equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
a equação característica é:
No nosso caso, $ b = 3 - \alpha $ e $ c = -2(\alpha - 1) $. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r
\Delta $):
Expandindo:
Como o discriminante é um quadrado perfeito, temos duas raízes reais e iguais.
Passo 4
As raízes da equação são:
Calculando:
Então, as soluções gerais da equação diferencial são:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ quando $ t $ tende ao infinito para $ \alpha > 1 $:
- O termo $ e^{(\alpha - 1)t} $ cresce exponencialmente porque $ \alpha - 1 > 0 $.
- O termo $ e^{-2t} $ decai exponencialmente.
Portanto, para $ \alpha > 1 $, o termo dominante é $ e^{(\alpha - 1)t} $, que faz com que $ y(t) $ cresça sem limites conforme $ t $ aumenta.
Resposta
A afirmativa "
para
" é verdadeira.