Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime+(3-alpha) y^prime-2(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
y infty para alpha>1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + (3 - alpha)y' - 2(alpha - 1)y = 0
Nosso objetivo é determinar se a afirmativa " y infty para alpha > 1" é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem usando o método das equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação da forma:
y'' + b y' + c y = 0
a equação característica é:
r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, $ b = 3 - \alpha $ e $ c = -2(\alpha - 1) $. Então, a equação característica fica:
b = 3 - alpha

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r r \Delta $):
De
Expandindo:
De
Como o discriminante é um quadrado perfeito, temos duas raízes reais e iguais.

Passo 4

As raízes da equação são:
r = -(3 - alpha) pm (alpha + 1)2
Calculando:
r1 = alpha - 3 + alpha + 12 = 2alpha - 22 = alpha - 1
r2 = alpha - 3 - (alpha + 1)2 = -42 = -2
Então, as soluções gerais da equação diferencial são:
y(t) = C1 e^(alpha - 1)t + C2 e^-2t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ quando $ t $ tende ao infinito para $ \alpha > 1 $:
  • O termo $ e^{(\alpha - 1)t} $ cresce exponencialmente porque $ \alpha - 1 > 0 $.
  • O termo $ e^{-2t} $ decai exponencialmente.
Portanto, para $ \alpha > 1 $, o termo dominante é $ e^{(\alpha - 1)t} $, que faz com que $ y(t) $ cresça sem limites conforme $ t $ aumenta.

Resposta

A afirmativa " y infty para alpha > 1" é verdadeira.

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