Considere a seguinte equação diferencial para y(x) :
y^prime prime+k^2 x^2 y=0, onde k é uma constante positiva é
Usando o fato de que x=0 é um ponto ordinário desta equação diferencial, determine sua solução geral sob a forma de série de potências em torno de x=0, e mostre que a série da qual você partiu inicialmente para y(x) gera automaticamente duas soluções y1(x) e y2(x) linearmente independentes; em cada uma delas escreva explicitamente os três primeiros (potências mais baixas) termos não nulos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + k^{2} x^{2} y = 0 $. Nesta questão, vamos usar a Série de Potências para encontrar a solução geral de $ y(x) $ em torno de $ x = 0 $. Para isso, precisamos conhecer um pouquinho sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em $ x = 0 $. Ou seja,
y(x)
Aqui, $ a_{n} $ são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $ necessárias para a equação diferencial:
y(x)
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1

Passo 4

Substituímos $ y(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
y(x)

Passo 5

Vamos alinhar os índices das somas para facilitar a manipulação. Ajustamos o primeiro somatório mudando a variável $ n $ para $ m = n - 2 $:
n
Agora, mudamos o índice do segundo somatório para $ m = n $:
m = n - 2

Passo 6

Para combinar as somas, notamos que no segundo somatório, a potência de $ x $ é $ m + 2 $. Vamos ajustar isso para que ambos os somatórios tenham $ x^{m} $:
x

Passo 7

Agora, combinamos os somatórios:
(m+2)(m+1) am+2 + k^2 am-2 = 0 para todo m >= 0
Essa é a relação de recorrência que nos ajuda a encontrar os coeficientes $ a_{m} $.

Passo 8

Resolvemos a relação de recorrência para $ a_{m+2} $:
am+2

Passo 9

Observamos que a relação de recorrência depende de $ m-2 $, então precisamos estabelecer os coeficientes iniciais $ a_0 $ e $ a_1 $ como parâmetros livres da solução geral.

Passo 10

Vamos construir duas soluções distintas:
  1. Solução $ y_1(x) $: Assume $ a_1 = 0 $ e $ a_0 $ livre.
  2. Solução $ y_2(x) $: Assume $ a_0 = 0 $ e $ a_1 $ livre.

Passo 11

Para $ y_1(x) $:
  • $ a_0 = A $ (constante arbitrária)
  • $ a_1 = 0 $
  • Usando a relação de recorrência:
y1(x)
a0 = A
Então,
a1 = 0
Os três primeiros termos são:
a2 = -k^22 cdot 1 a0 = -k^22 A

Passo 12

Para $ y_2(x) $:
  • $ a_0 = 0 $
  • $ a_1 = B $ (constante arbitrária)
  • Usando a relação de recorrência:
y2(x)
a0 = 0
Então,
a1 = B
Os três primeiros termos são:
a3 = -k^23 cdot 2 a1 = -k^26 B

Resposta

A solução geral da equação diferencial é uma combinação das duas soluções encontradas:
y(x) = y1(x) + y2(x) = A (1 - k^22 x^2 + k^424 x^4) + B (x - k^26 x^3 + k^4120 x^5)
onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias.

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