Considere a seguinte equação diferencial para
:
Usando o fato de que
é um ponto ordinário desta equação diferencial, determine sua solução geral sob a forma de série de potências em torno de
, e mostre que a série da qual você partiu inicialmente para
gera automaticamente duas soluções
e
linearmente independentes; em cada uma delas escreva explicitamente os três primeiros (potências mais baixas) termos não nulos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial $ y’’ + k^{2} x^{2} y = 0 $. Nesta questão, vamos usar a Série de Potências para encontrar a solução geral de $ y(x) $ em torno de $ x = 0 $. Para isso, precisamos conhecer um pouquinho sobre séries de potências e como aplicá-las em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução $ y(x) $ pode ser escrita como uma série de potências centrada em $ x = 0 $. Ou seja,
Aqui, $ a_{n} $ são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ y(x) $ necessárias para a equação diferencial:
Passo 4
Substituímos $ y(x) $ e $ y’’(x) $ na equação diferencial:
Passo 5
Vamos alinhar os índices das somas para facilitar a manipulação. Ajustamos o primeiro somatório mudando a variável $ n $ para $ m = n - 2 $:
Agora, mudamos o índice do segundo somatório para $ m = n $:
Passo 6
Para combinar as somas, notamos que no segundo somatório, a potência de $ x $ é $ m + 2 $. Vamos ajustar isso para que ambos os somatórios tenham $ x^{m} $:
Passo 7
Agora, combinamos os somatórios:
Essa é a relação de recorrência que nos ajuda a encontrar os coeficientes $ a_{m} $.
Passo 8
Resolvemos a relação de recorrência para $ a_{m+2} $:
Passo 9
Observamos que a relação de recorrência depende de $ m-2 $, então precisamos estabelecer os coeficientes iniciais $ a_0 $ e $ a_1 $ como parâmetros livres da solução geral.
Passo 10
Vamos construir duas soluções distintas:
- Solução $ y_1(x) $: Assume $ a_1 = 0 $ e $ a_0 $ livre.
- Solução $ y_2(x) $: Assume $ a_0 = 0 $ e $ a_1 $ livre.
Passo 11
Para $ y_1(x) $:
- $ a_0 = A $ (constante arbitrária)
- $ a_1 = 0 $
- Usando a relação de recorrência:
Então,
Os três primeiros termos são:
Passo 12
Para $ y_2(x) $:
- $ a_0 = 0 $
- $ a_1 = B $ (constante arbitrária)
- Usando a relação de recorrência:
Então,
Os três primeiros termos são:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é uma combinação das duas soluções encontradas:
onde $ A $ e $ B $ são constantes arbitrárias.