a) Verifique que y_{1}(x)=e^{-2 x} e y_{2}(x)=e^{-3 x} são raízes da equação dada.
b) Explicite uma solução para a equação usando o Wronskiano de y_{1} e y_{2}.
As perguntas são:
(a) Verificar se y_{1} e y_{2} são soluções (ou seja, se satisfazem a equação dada).
(b) Explicitar uma solução geral da equação usando o Wronskiano de y_{1} e y_{2}.
Passo 2
Verificação direta de y_{1}(x)=e^{-2x}. Primeiro calcule as derivadas:
para todo x. Conclusão: \;y_{2}(x)=e^{-3x}\; NÃO é solução da equação dada.
Passo 4
Observação importante (não resolutiva, só para clarear): as funções e^{-2x} e e^{-3x} são soluções típicas da equação cuja equação característica tem raízes -2 e -3. A equação característica correspondente à equação diferencial \;y''+5y'+6y=0\; é
r^{2}+5r+6=0,
com raízes r=-2 e r=-3, por isso e^{-2x} e e^{-3x} seriam soluções dessa equação com sinal +5 no termo de y'. Dado que o enunciado forneceu -5 (sinal negativo), há uma discrepância: com -5 as raízes da característica seriam r=2 e r=3, dando soluções e^{2x} e e^{3x}. Não tenho como perguntar ao autor, então deixo explícito que com o sinal negativo as funções dadas NÃO satisfazem a equação; é muito provável que a intenção do exercício era a equação
y''+5y'+6y=0.
Passo 5
Vou seguir adiante assumindo que a intenção era a equação
y''+5y'+6y=0,
pois isso torna as duas partes consistentes com as funções fornecidas. Primeiro verifico rapidamente (curta confirmação):
para y_{1}=e^{-2x} temos
Esse Wronskiano é diferente de zero para todo x (pois -e^{-5x}\neq 0 sempre). Quando o Wronskiano de duas soluções é não nulo num ponto, as duas soluções são linearmente independentes em todo intervalo onde as funções são definidas.]
Passo 7
Conclusão sobre a solução geral. Teorema (intuitivo): para uma equação linear homogênea de segunda ordem, duas soluções linearmente independentes formam uma base do espaço de soluções; logo a solução geral é combinação linear dessas duas soluções. Como W(x)\neq 0, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (na equação com +5) e a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.
Resposta
(a) Para a equação dada \;y''-5y'+6y=0\;: y_{1}(x)=e^{-2x} e y_{2}(x)=e^{-3x} NÃO são soluções (verificou-se que os resíduos são 20e^{-2x} e 30e^{-3x}).
(b) Se a equação pretendida for \;y''+5y'+6y=0\; (caso consistente com as funções dadas), então o Wronskiano é W(x)=-e^{-5x}\neq 0 e a solução geral é y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-3x}.