Considere a seguinte equação
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=0
a) Verifique que y_{1}(x)=e^{-2 x} e y_{2}(x)=e^{-3 x} são raízes da equação dada.
b) Explicite uma solução para a equação usando o Wronskiano de y_{1} e y_{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-5y'+6y=0
e fornece duas funções
y_{1}(x)=e^{-2x}\quad\text{e}\quad y_{2}(x)=e^{-3x}.
As perguntas são:
(a) Verificar se y_{1} e y_{2} são soluções (ou seja, se satisfazem a equação dada).
(b) Explicitar uma solução geral da equação usando o Wronskiano de y_{1} e y_{2}.

Passo 2

Verificação direta de y_{1}(x)=e^{-2x}. Primeiro calcule as derivadas:
y_{1}'(x) = -2e^{-2x},\qquad y_{1}''(x)=4e^{-2x}.
Substituo na equação \;y''-5y'+6y\;:
y_{1}''-5y_{1}'+6y_{1} =4e^{-2x}-5(-2e^{-2x})+6e^{-2x}.
Agora somo os coeficientes:
4 -5(-2)+6 = 4 +10 +6 = 20.
Portanto
y_{1}''-5y_{1}'+6y_{1}=20e^{-2x}\neq 0,
para todo x. Conclusão: \;y_{1}(x)=e^{-2x}\; NÃO é solução da equação dada.

Passo 3

Verificação direta de y_{2}(x)=e^{-3x}. Primeiro calcule as derivadas:
y_{2}'(x) = -3e^{-3x},\qquad y_{2}''(x)=9e^{-3x}.
Substituo na equação:
y_{2}''-5y_{2}'+6y_{2} =9e^{-3x}-5(-3e^{-3x})+6e^{-3x}.
Somando os coeficientes:
9 -5(-3)+6 = 9 +15 +6 = 30.
Portanto
y_{2}''-5y_{2}'+6y_{2}=30e^{-3x}\neq 0,
para todo x. Conclusão: \;y_{2}(x)=e^{-3x}\; NÃO é solução da equação dada.

Passo 4

Observação importante (não resolutiva, só para clarear): as funções e^{-2x} e e^{-3x} são soluções típicas da equação cuja equação característica tem raízes -2 e -3. A equação característica correspondente à equação diferencial \;y''+5y'+6y=0\; é
r^{2}+5r+6=0,
com raízes r=-2 e r=-3, por isso e^{-2x} e e^{-3x} seriam soluções dessa equação com sinal +5 no termo de y'. Dado que o enunciado forneceu -5 (sinal negativo), há uma discrepância: com -5 as raízes da característica seriam r=2 e r=3, dando soluções e^{2x} e e^{3x}. Não tenho como perguntar ao autor, então deixo explícito que com o sinal negativo as funções dadas NÃO satisfazem a equação; é muito provável que a intenção do exercício era a equação
y''+5y'+6y=0.

Passo 5

Vou seguir adiante assumindo que a intenção era a equação
y''+5y'+6y=0,
pois isso torna as duas partes consistentes com as funções fornecidas. Primeiro verifico rapidamente (curta confirmação):
para y_{1}=e^{-2x} temos
y_{1}''+5y_{1}'+6y_{1}=4e^{-2x}+5(-2e^{-2x})+6e^{-2x}=(4-10+6)e^{-2x}=0,
e para y_{2}=e^{-3x} temos
y_{2}''+5y_{2}'+6y_{2}=9e^{-3x}+5(-3e^{-3x})+6e^{-3x}=(9-15+6)e^{-3x}=0.
Logo, sob a hipótese da equação com +5, ambas são soluções.

Passo 6

Definição do Wronskiano e cálculo. O Wronskiano de duas funções y_{1},y_{2} é definido por
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[6pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix} = y_{1}(x)\,y_{2}'(x)-y_{2}(x)\,y_{1}'(x).
Para y_{1}=e^{-2x} e y_{2}=e^{-3x} temos (uso as derivadas já calculadas):
W(x)=e^{-2x}(-3e^{-3x})-e^{-3x}(-2e^{-2x}) =(-3+2)e^{-5x}=-e^{-5x}.
Esse Wronskiano é diferente de zero para todo x (pois -e^{-5x}\neq 0 sempre). Quando o Wronskiano de duas soluções é não nulo num ponto, as duas soluções são linearmente independentes em todo intervalo onde as funções são definidas.]

Passo 7

Conclusão sobre a solução geral. Teorema (intuitivo): para uma equação linear homogênea de segunda ordem, duas soluções linearmente independentes formam uma base do espaço de soluções; logo a solução geral é combinação linear dessas duas soluções. Como W(x)\neq 0, y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (na equação com +5) e a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Resposta

(a) Para a equação dada \;y''-5y'+6y=0\;: y_{1}(x)=e^{-2x} e y_{2}(x)=e^{-3x} NÃO são soluções (verificou-se que os resíduos são 20e^{-2x} e 30e^{-3x}).
(b) Se a equação pretendida for \;y''+5y'+6y=0\; (caso consistente com as funções dadas), então o Wronskiano é W(x)=-e^{-5x}\neq 0 e a solução geral é y(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-3x}.

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