Encontre a solução geral das seguintes equações não homogêneas de segunda ordem.
y^{\prime \prime}-2 y-3 y=-3 x e^{-x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
y''-2y-3y=-3x e^{-x},
e pede a solução geral. As informações relevantes são:
  • A equação, escrita literalmente, é \,y''-2y-3y=-3x e^{-x}\,.
  • Podemos simplificar os termos em y no lado esquerdo: -2y-3y=-5y.
  • Então a equação equivalente que vamos resolver é
y''-5y=-3x e^{-x}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y''-5y=0.
Explico a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes tentamos uma solução do tipo \,y=e^{rx}\,. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica em r:
r^2-5=0.
Resolvendo essa equação quadrática temos
r=\pm\sqrt{5}.
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{\sqrt{5}\,x}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação não homogênea
y''-5y=-3x e^{-x}.
Escolha do método: como o termo do lado direito é um polinômio em x multiplicado por uma exponencial e^{-x}, o método das constantes a determinar (método dos \emph{undetermined coefficients}) é apropriado — a ideia é tentar uma forma para y_p parecida com o lado direito, com coeficientes a achar.
Verificação de ressonância: se e^{-x} fosse solução da homogênea, teríamos que multiplicar a tentativa por potências de x. As soluções homogêneas são e^{\pm\sqrt{5}x}, que não incluem e^{-x} (porque -1\neq\pm\sqrt{5}). Logo não há ressonância, e podemos tomar como tentativa um polinômio do mesmo grau multiplicando e^{-x}. O lado direito tem polinômio de grau 1 ( -3x), então tentamos
y_p=(Ax+B)e^{-x},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p. Use a regra do produto: se y_p=u(x)v(x) com u(x)=Ax+B e v(x)=e^{-x}, então y_p'=u'v+uv' etc.
Primeira derivada:
y_p' = A e^{-x} + (Ax+B)(-e^{-x}) = \bigl(A -Ax -B\bigr)e^{-x}.
É conveniente rearranjar:
y_p' = \bigl(-A x + (A-B)\bigr)e^{-x}.
Segunda derivada:
derivando y_p',
y_p'' = \bigl(-A\bigr)e^{-x} + \bigl(-A x + (A-B)\bigr)(-e^{-x}).
Organizando os termos:
y_p'' = \bigl(-A + A x - (A-B)\bigr)e^{-x} = \bigl(A x -2A + B\bigr)e^{-x}.

Passo 5

Substituímos y_p e y_p'' na equação y''-5y=-3x e^{-x}.
O lado esquerdo com a tentativa é
y_p''-5y_p = \bigl(A x -2A + B\bigr)e^{-x} -5\bigl(A x + B\bigr)e^{-x}.
Fatorando e^{-x} e somando os termos polinomiais:
y_p''-5y_p = \bigl(A x -2A + B -5A x -5B\bigr)e^{-x} = \bigl((-4A)x +(-2A -4B)\bigr)e^{-x}.
Isso deve ser igual ao lado direito -3x e^{-x}. Igualando os polinômios que multiplicam e^{-x} obtemos o sistema para A e B:
-4A = -3,
-2A -4B = 0.

Passo 6

Resolva o sistema para A e B.
Da primeira equação:
A=\frac{3}{4}.
Substituindo na segunda:
-2\cdot\frac{3}{4}-4B=0 \quad\Rightarrow\quad -\frac{3}{2}-4B=0.
Então
-4B=\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{3}{8}.
Portanto a solução particular é
y_p=\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)e^{-x}.

Passo 7

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Substituindo as expressões encontradas:
y(x)=C_1 e^{\sqrt{5}\,x}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,x}+\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}\right)e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determinações por condições iniciais, se existirem).

Resposta

y(x)=C_1 e^{\sqrt{5}\,x}+C_2 e^{-\sqrt{5}\,x}+\left(\dfrac{3}{4}x-\dfrac{3}{8}\right)e^{-x}

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