Encontre a solução geral das seguintes equações não homogêneas de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea
e pede a solução geral. As informações relevantes são:
- A equação, escrita literalmente, é
. - Podemos simplificar os termos em
no lado esquerdo: . - Então a equação equivalente que vamos resolver é
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Explico a técnica: para equações lineares com coeficientes constantes tentamos uma solução do tipo
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica em
:
Resolvendo essa equação quadrática temos
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não homogênea
Escolha do método: como o termo do lado direito é um polinômio em
multiplicado por uma exponencial
, o método das constantes a determinar (método dos \emph{undetermined coefficients}) é apropriado — a ideia é tentar uma forma para
parecida com o lado direito, com coeficientes a achar.
Verificação de ressonância: se
fosse solução da homogênea, teríamos que multiplicar a tentativa por potências de
. As soluções homogêneas são
, que não incluem
(porque
). Logo não há ressonância, e podemos tomar como tentativa um polinômio do mesmo grau multiplicando
. O lado direito tem polinômio de grau 1 (
), então tentamos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Use a regra do produto: se
com
e
, então
etc.
Primeira derivada:
É conveniente rearranjar:
Segunda derivada:
derivando ,
derivando
Organizando os termos:
Passo 5
Substituímos
e
na equação
.
O lado esquerdo com a tentativa é
Fatorando
e somando os termos polinomiais:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Igualando os polinômios que multiplicam
obtemos o sistema para
e
:
Passo 6
Resolva o sistema para
e
.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então
Portanto a solução particular é
Passo 7
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo as expressões encontradas:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinações por condições iniciais, se existirem).