Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-9 y=e^{x} \operatorname{com} y(1)=0 e y^{\prime}(1)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais:
y'' + 8y' - 9y = e^{x},
com
y(1)=0,\qquad y'(1)=1.
Dados relevantes: a equação é linear não homogênea; o termo forçante (lado direito) é e^{x}; há duas condições iniciais em x=1. O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação e as condições dadas.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada. A equação homogênea é
y'' + 8y' - 9y = 0.
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, usamos a substituição tentativa y(x)=e^{r x}. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a equação característica). Substituindo y=e^{r x} obtemos:
r^{2} + 8r - 9 = 0.
Agora resolvemos essa quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). O discriminante é
\Delta = 8^{2} - 4\cdot 1\cdot(-9) = 64 + 36 = 100.
As raízes são
r = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}.
Logo
r_{1}=1,\qquad r_{2}=-9.
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-9x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação não homogênea
y''+8y'-9y = e^{x}.
Método: coeficientes indeterminados. Quando o forçante é uma função da forma P(x)e^{\alpha x} (aqui P(x) é a constante 1 e \alpha=1), tentamos uma solução do tipo x^{s}Q(x)e^{\alpha x}, onde s é o multiplicidade de \alpha como raíz da equação característica. Aqui \alpha=1 é uma raiz da característica (ver Passo 2), com multiplicidade 1. Portanto temos ressonância de ordem s=1 e devemos multiplicar por x. Assim tentamos:
y_{p}(x)=A x e^{x},
onde A é constante a determinar.

Passo 4

Vamos calcular y_{p}' e y_{p}'' para substituir na equação e achar A.
Derivando:
y_{p}(x)=A x e^{x},
y_{p}'(x)=A (e^{x} x + e^{x}) = A e^{x}(x+1),
y_{p}''(x)=A\big(e^{x}(x+1)+ e^{x}\big)=A e^{x}(x+2).
Agora substituímos na equação esquerda:
y_{p}'' + 8y_{p}' - 9 y_{p} = A e^{x}(x+2) + 8 A e^{x}(x+1) - 9 A x e^{x}.
Fatorando A e^{x}:
A e^{x}\big((x+2) + 8(x+1) - 9x\big).
Calculamos o que está entre parênteses:
(x+2) + 8(x+1) - 9x = x+2 +8x+8 -9x = (x+8x-9x) + (2+8) = 0\cdot x +10 = 10.
Logo
y_{p}'' + 8y_{p}' - 9 y_{p} = A e^{x}\cdot 10 = 10A e^{x}.
Queremos que isso seja igual a e^{x}. Assim:
10A e^{x} = e^{x} \implies 10A = 1 \implies A=\tfrac{1}{10}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x) = \frac{1}{10} x e^{x}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{-9x} + \frac{1}{10} x e^{x}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculamos y'(x).
Derivando y(x):
y'(x) = C_{1} e^{x} - 9 C_{2} e^{-9x} + \frac{1}{10} e^{x}(x+1).
(Recordando que derivada de \tfrac{1}{10} x e^{x} é \tfrac{1}{10} e^{x}(x+1).)
Agora avaliamos em x=1. A primeira condição:
y(1)=0 \implies C_{1} e^{1} + C_{2} e^{-9} + \frac{1}{10}\cdot 1\cdot e^{1} = 0.
Escrevendo de forma mais limpa:
C_{1} e + C_{2} e^{-9} + \frac{1}{10}e = 0.
A segunda condição:
y'(1)=1 \implies C_{1} e - 9 C_{2} e^{-9} + \frac{1}{10} e (1+1) = 1.
Como 1+1=2, isso dá:
C_{1} e - 9 C_{2} e^{-9} + \frac{1}{5} e = 1.

Passo 7

Resolvemos o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1} e + C_{2} e^{-9} = -\dfrac{1}{10}e,\\[6pt] C_{1} e - 9 C_{2} e^{-9} = 1 - \dfrac{1}{5}e. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda (segunda menos primeira) para eliminar C_{1}e\]: \[(C_{1} e - 9 C_{2} e^{-9}) - (C_{1} e + C_{2} e^{-9}) = \big(1 - \tfrac{1}{5}e\big) - \big(-\tfrac{1}{10}e\big).\] No lado esquerdo fica \(-10 C_{2} e^{-9}. No direito:
1 - \tfrac{1}{5}e + \tfrac{1}{10}e = 1 - \tfrac{1}{10}e.
Logo
-10 C_{2} e^{-9} = 1 - \tfrac{1}{10}e.
Isolando C_{2}:
C_{2} = -\frac{1 - \tfrac{1}{10}e}{10 e^{-9}} = -\frac{10 - e}{100} e^{9}.
Podemos reescrever trocando sinal:
C_{2} = \frac{e-10}{100} e^{9} = \frac{e^{9}(e-10)}{100}.]

Passo 8

Agora encontramos C_{1} usando a primeira equação:
C_{1} e + C_{2} e^{-9} = -\frac{1}{10}e.
Note que C_{2} e^{-9} = \dfrac{e^{9}(e-10)}{100}\cdot e^{-9} = \dfrac{e-10}{100}. Substituindo:
C_{1} e + \frac{e-10}{100} = -\frac{1}{10}e.
Isolando C_{1}e:
C_{1} e = -\frac{1}{10}e - \frac{e-10}{100} = \frac{-10e - (e-10)}{100} = \frac{-11e + 10}{100}.
Portanto
C_{1} = \frac{-11e + 10}{100 e} = \frac{10-11e}{100 e}.

Passo 9

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral. Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = \left(\frac{10-11e}{100 e}\right) e^{x} + \left(\frac{e^{9}(e-10)}{100}\right) e^{-9x} + \frac{1}{10} x e^{x}.
Podemos agrupar os exponenciais se preferir, mas a forma acima já é explícita e correta.

Resposta

y(x)=\left(\frac{10-11e}{100 e}\right)e^{x}+\left(\frac{e^{9}(e-10)}{100}\right)e^{-9x}+\frac{1}{10}x e^{x}

Exercícios relacionados