Resolva os seguintes problemas de Cauchy.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e condições iniciais:
com
Dados relevantes: a equação é linear não homogênea; o termo forçante (lado direito) é
; há duas condições iniciais em
. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação e as condições dadas.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada. A equação homogênea é
Para resolver equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, usamos a substituição tentativa
. Isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica (a equação característica). Substituindo
obtemos:
Agora resolvemos essa quadrática. Usamos a fórmula de Bhaskara (ou fatoração se possível). O discriminante é
As raízes são
Logo
Como as raízes são reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação não homogênea
Método: coeficientes indeterminados. Quando o forçante é uma função da forma
(aqui
é a constante 1 e
), tentamos uma solução do tipo
, onde
é o multiplicidade de
como raíz da equação característica. Aqui
é uma raiz da característica (ver Passo 2), com multiplicidade
. Portanto temos ressonância de ordem
e devemos multiplicar por
. Assim tentamos:
onde
é constante a determinar.
Passo 4
Vamos calcular
e
para substituir na equação e achar
.
Derivando:
Agora substituímos na equação esquerda:
Fatorando
:
Calculamos o que está entre parênteses:
Logo
Queremos que isso seja igual a
. Assim:
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Passo 6
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculamos
.
Derivando
:
(Recordando que derivada de
é
.)
Agora avaliamos em
. A primeira condição:
Escrevendo de forma mais limpa:
A segunda condição:
Como
, isso dá:
Passo 7
Resolvemos o sistema linear para
Subtraindo a primeira equação da segunda (segunda menos primeira) para eliminar
. No direito:
Logo
Isolando
:
Podemos reescrever trocando sinal:
Passo 8
Agora encontramos
usando a primeira equação:
Note que
Substituindo:
Isolando
:
Portanto
Passo 9
Substituímos
e
na solução geral. Assim a solução que satisfaz as condições iniciais é
Podemos agrupar os exponenciais se preferir, mas a forma acima já é explícita e correta.