Considere a seguinte expressão algébrica para a transformada z X(z) de um sinal x[n] :
X(z)=\frac{1+z^{-1}}{1+\frac{1}{3} z^{-1}}
Supondo que a RDC seja |z|>1 / 3, use a divisão longa para determinar os valores de x[0], x[1] \mathrm{e} x[2].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: X(z)=\frac{1+z^{-1}}{1+\frac{1}{3}z^{-1}}e a região de convergência (RDC) é |z|>\tfrac{1}{3}.
  • Pedido: determinar x[0],\;x[1] e x[2], onde x[n] é a sequência cujo transformada z é X(z).
Observação importante (para não me perder depois): com RDC |z|>\tfrac{1}{3} estamos na região exterior a um círculo — isto corresponde à expansão de X(z) em potências de z^{-1} (série em z^{-1}) que converge para |z|>\tfrac{1}{3}. Essa expansão tem a forma
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
ou seja, os coeficientes da potência z^{-n} são exatamente x[n]. Vou então obter os primeiros termos dessa série usando divisão longa em potências de z^{-1}.

Passo 2

Breve explicação do método (divisão longa em z^{-1}) e por que ele serve.
  • Queremos dividir o polinômio (em z^{-1}) do numerador pelo do denominador para obter o quociente como série em z^{-1}: \frac{1+z^{-1}}{1+\frac{1}{3}z^{-1}} = q_0 + q_1 z^{-1} + q_2 z^{-2} + \cdotsonde q_n = x[n].
  • A divisão longa em z^{-1} procede como divisão usual: em cada passo escolhe-se um termo do quociente que elimina o maior termo do resto multiplicando o denominador, subtrai-se e continua-se para a próxima potência menor de z^{-1}.
  • Vou fazer passo a passo para achar q_0,q_1,q_2 (que são x[0],x[1],x[2]).

Passo 3

Configuração inicial da divisão longa.
Dividir
1+z^{-1}
por
1+\frac{1}{3}z^{-1}.
Passo inicial da divisão longa (termo de ordem z^{0}):
  • Para obter 1 (termo líder do numerador) a partir do denominador, multiplica-se o denominador por 1. Logo o primeiro termo do quociente é q_0 = 1.
  • Multiplica-se o denominador por q_0: q_0\left(1+\frac{1}{3}z^{-1}\right)=1+\frac{1}{3}z^{-1}.
  • Subtrai-se isso do numerador: \big(1+z^{-1}\big)-\big(1+\tfrac{1}{3}z^{-1}\big)=\left(1-1\right)+\left(1-\tfrac{1}{3}\right)z^{-1}=\tfrac{2}{3}z^{-1}.Este é o resto após o primeiro passo.

Passo 4

Segundo passo da divisão longa (termo de ordem z^{-1}):
  • O resto atual é \tfrac{2}{3}z^{-1}. Para anular esse termo, escolhe-se um termo do quociente igual a \tfrac{2}{3}z^{-1}, pois \left(\tfrac{2}{3}z^{-1}\right)\cdot 1 = \tfrac{2}{3}z^{-1}.Portanto o segundo termo do quociente é q_1 = \tfrac{2}{3}.(Note que o termo no quociente aparece como q_1 z^{-1}, ou seja escolhemos q_1 z^{-1}=\tfrac{2}{3}z^{-1} com q_1=\tfrac{2}{3}.)
  • Multiplica-se o denominador por esse termo (lembrando do fator z^{-1}): \left(\tfrac{2}{3}z^{-1}\right)\left(1+\tfrac{1}{3}z^{-1}\right)=\tfrac{2}{3}z^{-1}+\tfrac{2}{9}z^{-2}.
  • Subtrai-se do resto anterior: \tfrac{2}{3}z^{-1}-\left(\tfrac{2}{3}z^{-1}+\tfrac{2}{9}z^{-2}\right)= -\tfrac{2}{9}z^{-2}.Agora o novo resto é -\tfrac{2}{9}z^{-2}.

Passo 5

Terceiro passo da divisão longa (termo de ordem z^{-2}):
  • O resto atual é -\tfrac{2}{9}z^{-2}. Para anular esse termo escolhe-se o próximo termo do quociente igual a -\tfrac{2}{9}z^{-2} dividido por 1, ou seja o coeficiente do quociente relevante é q_2 = -\tfrac{2}{9}.(Novamente o termo no quociente aparece como q_2 z^{-2} = -\tfrac{2}{9} z^{-2}.)
  • Multiplicando o denominador por esse termo gera termos de ordem z^{-2} e z^{-3}; ao subtrair cancelamos o termo z^{-2} e sobra uma ordem inferior (que não interessa para x[0..2]): \left(-\tfrac{2}{9}z^{-2}\right)\left(1+\tfrac{1}{3}z^{-1}\right)=-\tfrac{2}{9}z^{-2}-\tfrac{2}{27}z^{-3}.Subtraindo do resto -\tfrac{2}{9}z^{-2} obtemos resto \tfrac{2}{27}z^{-3} (ordem inferior).
  • Neste ponto já temos os três primeiros termos do quociente: X(z)=q_0 + q_1 z^{-1} + q_2 z^{-2} + \cdotscom os q calculados acima.

Passo 6

Identificação dos coeficientes com x[n] e conclusão via divisão longa.
  • Pelo desenvolvimento em série em potências de z^{-1} temos q_n = x[n].
  • Então, dos termos encontrados: x[0]=q_0=1,\qquad x[1]=q_1=\tfrac{2}{3},\qquad x[2]=q_2=-\tfrac{2}{9}.

Passo 7

Verificação alternativa (curtinha) por método de comparação de coeficientes — boa para conferir se não houve erro de conta.
  • Partindo de \left(1+\tfrac{1}{3}z^{-1}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}\right)=1+z^{-1},comparando coeficientes de z^{0},z^{-1},z^{-2} obtemos, respectivamente: z^{0}:\quad x[0]=1,
z^{-1}:\quad x[1]+\tfrac{1}{3}x[0]=1 \quad\Rightarrow\quad x[1]=1-\tfrac{1}{3}=\tfrac{2}{3},
z^{-2}:\quad x[2]+\tfrac{1}{3}x[1]=0 \quad\Rightarrow\quad x[2]=-\tfrac{1}{3}x[1]=-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{2}{3}=-\tfrac{2}{9}.
  • Confere com os valores obtidos pela divisão longa.

Resposta

\;x[0]=1\n \;x[1]=\tfrac{2}{3}\n \;x[2]=-\tfrac{2}{9}

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