Considere a seguinte expressão algébrica para a transformada
de um sinal
:
Supondo que a RDC seja
, use a divisão longa para determinar os valores de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado:
e a região de convergência (RDC) é . - Pedido: determinar
e , onde é a sequência cujo transformada z é .
Observação importante (para não me perder depois): com RDC
estamos na região exterior a um círculo — isto corresponde à expansão de
em potências de
(série em
) que converge para
. Essa expansão tem a forma
ou seja, os coeficientes da potência
são exatamente
. Vou então obter os primeiros termos dessa série usando divisão longa em potências de
.
Passo 2
Breve explicação do método (divisão longa em
) e por que ele serve.
- Queremos dividir o polinômio (em
) do numerador pelo do denominador para obter o quociente como série em : onde . - A divisão longa em
procede como divisão usual: em cada passo escolhe-se um termo do quociente que elimina o maior termo do resto multiplicando o denominador, subtrai-se e continua-se para a próxima potência menor de . - Vou fazer passo a passo para achar
(que são ).
Passo 3
Configuração inicial da divisão longa.
Dividir
por
Passo inicial da divisão longa (termo de ordem
):
- Para obter
(termo líder do numerador) a partir do denominador, multiplica-se o denominador por . Logo o primeiro termo do quociente é - Multiplica-se o denominador por
: - Subtrai-se isso do numerador:
Este é o resto após o primeiro passo.
Passo 4
Segundo passo da divisão longa (termo de ordem
):
- O resto atual é
. Para anular esse termo, escolhe-se um termo do quociente igual a , pois Portanto o segundo termo do quociente é (Note que o termo no quociente aparece como , ou seja escolhemos com .) - Multiplica-se o denominador por esse termo (lembrando do fator
): - Subtrai-se do resto anterior:
Agora o novo resto é .
Passo 5
Terceiro passo da divisão longa (termo de ordem
):
- O resto atual é
. Para anular esse termo escolhe-se o próximo termo do quociente igual a dividido por , ou seja o coeficiente do quociente relevante é (Novamente o termo no quociente aparece como .) - Multiplicando o denominador por esse termo gera termos de ordem
e ; ao subtrair cancelamos o termo e sobra uma ordem inferior (que não interessa para ): Subtraindo do resto obtemos resto (ordem inferior). - Neste ponto já temos os três primeiros termos do quociente:
com os calculados acima.
Passo 6
Identificação dos coeficientes com
e conclusão via divisão longa.
- Pelo desenvolvimento em série em potências de
temos . - Então, dos termos encontrados:
Passo 7
Verificação alternativa (curtinha) por método de comparação de coeficientes — boa para conferir se não houve erro de conta.
- Partindo de
comparando coeficientes de obtemos, respectivamente:
- Confere com os valores obtidos pela divisão longa.