Considere a seguinte função densidade conjunta associada ao vetor aleatório
f_{X_{1}, X_{2}, X_{3}}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left\{\begin{array}{cl} 6 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}, & \text { se } 0 \leq x_{1} \leq 1,0 \leq x_{2} \leq 1,0 \leq x_{3} \leq \sqrt{2} \\\\ 0, & \text { em outro caso } \end{array}\right.
Obter a(s) função(ões)
(a) de distribuição conjunta;
(b) de distribuições conjuntas duas a duas;
(c) de distribuições marginais;
(d) densidades conjuntas duas a duas;
(e) densidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a função densidade conjunta de (X_{1},X_{2},X_{3})\) em que \[f_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3}) =\begin{cases} 6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3},&0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{2}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
O conteúdo é variáveis contínuas e queremos obter
(a) a função de distribuição conjunta F_{X_{1},X_{2},X_{3}}\], (b) as distribuições conjuntas duas a duas, \text{(c)} as marginais de distribuição, (d) as densidades conjuntas duas a duas e (e) as densidades marginais. Vamos usar integração múltipla: para CDF tripla integramos a densidade até \((x_{1},x_{2},x_{3}); para CDF dupla e marginais, integramos sobre as variáveis não consideradas; e para densidades duplas e marginais integramos a densidade original.

Passo 2

Calcular
F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3}) =P(X_{1}\le x_{1},X_{2}\le x_{2},X_{3}\le x_{3}) =\int_{0}^{x_{1}}\!\!\int_{0}^{x_{2}}\!\!\int_{0}^{x_{3}}6\,u\,v^{2}\,w\;dw\,dv\,du.
Integramos em w: \int_{0}^{x_{3}}w\,dw=x_{3}^{2}/2.
Integramos em v: \int_{0}^{x_{2}}v^{2}\,dv=x_{2}^{3}/3.
Integramos em u: \int_{0}^{x_{1}}u\,du=x_{1}^{2}/2.
Multiplicando:
6\cdot\frac{x_{1}^{2}}{2}\cdot\frac{x_{2}^{3}}{3}\cdot\frac{x_{3}^{2}}{2} =\frac{x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3}^{2}}{2}.

Passo 3

As distribuições conjuntas duas a duas obtêm-se fixando a variável omitida em seu valor máximo:
F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},\sqrt{2}) =\frac{x_{1}^{2}x_{2}^{3}(\sqrt{2})^{2}}{2} =x_{1}^{2}x_{2}^{3}.
F_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3}) =F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},1,x_{3}) =\frac{x_{1}^{2}\cdot1^{3}\,x_{3}^{2}}{2} =\frac{x_{1}^{2}x_{3}^{2}}{2}.
F_{X_{2},X_{3}}(x_{2},x_{3}) =F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(1,x_{2},x_{3}) =\frac{1^{2}x_{2}^{3}x_{3}^{2}}{2} =\frac{x_{2}^{3}x_{3}^{2}}{2}.

Passo 4

As marginais de distribuição vêm integrando as outras duas variáveis até o máximo do suporte:
F_{X_{1}}(x_{1}) =\int_{0}^{x_{1}}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{2}}6\,u\,v^{2}\,w\;dw\,dv\,du =\int_{0}^{x_{1}}2\,u\,du=x_{1}^{2}.
F_{X_{2}}(x_{2}) =\int_{0}^{x_{2}}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{2}}6\,u\,v^{2}\,w\;dw\,du\,dv =\int_{0}^{x_{2}}3\,v^{2}\,dv=v^{3}\Big|_{0}^{x_{2}}=x_{2}^{3}.
F_{X_{3}}(x_{3}) =\int_{0}^{x_{3}}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}6\,u\,v^{2}\,w\;dv\,du\,dw =\int_{0}^{x_{3}}\;w\;dw=\frac{x_{3}^{2}}{2}.

Passo 5

As densidades conjuntas duas a duas são obtidas integrando a densidade original sobre a variável suprimida:
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\int_{0}^{\sqrt{2}}6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}\;dx_{3} =6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,\frac{(\sqrt{2})^{2}}{2} =6\,x_{1}\,x_{2}^{2}.
f_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3}) =\int_{0}^{1}6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}\;dx_{2} =6\,x_{1}\,x_{3}\,\frac{1^{3}}{3} =2\,x_{1}\,x_{3}.
f_{X_{2},X_{3}}(x_{2},x_{3}) =\int_{0}^{1}6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}\;dx_{1} =6\,x_{2}^{2}\,x_{3}\,\frac{1^{2}}{2} =3\,x_{2}^{2}\,x_{3}.

Passo 6

As densidades marginais são integrando sobre as duas variáveis restantes:
f_{X_{1}}(x_{1}) =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{2}}6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}\;dx_{3}\,dx_{2} =2\,x_{1}.
f_{X_{2}}(x_{2}) =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{\sqrt{2}}6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}\;dx_{3}\,dx_{1} =3\,x_{2}^{2}.
f_{X_{3}}(x_{3}) =\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3}\;dx_{2}\,dx_{1} =x_{3}.

Resposta

(a)
F_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3}) =\begin{cases} \displaystyle\frac{x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3}^{2}}{2},& 0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{2}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{se algum }x_{i}<0,\\\\ 1,&x_{1}\ge1,\;x_{2}\ge1,\;x_{3}\ge\sqrt{2}. \end{cases}
(b)
F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})= \begin{cases} x_{1}^{2}x_{2}^{3},&0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{2}\le1,\\\\ 0,&\text{se }x_{1}<0\text{ ou }x_{2}<0,\\\\ 1,&x_{1}\ge1,\;x_{2}\ge1, \end{cases}
F_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3})= \begin{cases} \dfrac{x_{1}^{2}x_{3}^{2}}{2},&0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{se }x_{1}<0\text{ ou }x_{3}<0,\\\\ 1,&x_{1}\ge1,\;x_{3}\ge\sqrt{2}, \end{cases}
F_{X_{2},X_{3}}(x_{2},x_{3})= \begin{cases} \dfrac{x_{2}^{3}x_{3}^{2}}{2},&0\le x_{2}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{se }x_{2}<0\text{ ou }x_{3}<0,\\\\ 1,&x_{2}\ge1,\;x_{3}\ge\sqrt{2}. \end{cases}
(c)
F_{X_{1}}(x_{1})= \begin{cases} x_{1}^{2},&0\le x_{1}\le1,\\\\ 0,&x_{1}<0,\\\\ 1,&x_{1}\ge1, \end{cases} \quad F_{X_{2}}(x_{2})= \begin{cases} x_{2}^{3},&0\le x_{2}\le1,\\\\ 0,&x_{2}<0,\\\\ 1,&x_{2}\ge1, \end{cases} \quad F_{X_{3}}(x_{3})= \begin{cases} \dfrac{x_{3}^{2}}{2},&0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&x_{3}<0,\\\\ 1,&x_{3}\ge\sqrt{2}. \end{cases}
(d)
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})= \begin{cases} 6\,x_{1}\,x_{2}^{2},&0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{2}\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
f_{X_{1},X_{3}}(x_{1},x_{3})= \begin{cases} 2\,x_{1}\,x_{3},&0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
f_{X_{2},X_{3}}(x_{2},x_{3})= \begin{cases} 3\,x_{2}^{2}\,x_{3},&0\le x_{2}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}á
(e)
f_{X_{1}}(x_{1})= \begin{cases} 2\,x_{1},&0\le x_{1}\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_{X_{2}}(x_{2})= \begin{cases} 3\,x_{2}^{2},&0\le x_{2}\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_{X_{3}}(x_{3})= \begin{cases} x_{3},&0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário}. \end{cases}ááá

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