Considere a seguinte função densidade conjunta associada ao vetor aleatório
f_{X_{1}, X_{2}, X_{3}}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left\{\begin{array}{cl} 6 x_{1} x_{2}^{2} x_{3}, & \text { se } 0 \leq x_{1} \leq 1,0 \leq x_{2} \leq 1,0 \leq x_{3} \leq \sqrt{2} \\\\ 0, & \text { em outro caso } \end{array}\right.
Obter a(s) função(ões)
(a) de distribuição conjunta;
(b) de distribuições conjuntas duas a duas;
(c) de distribuições marginais;
(d) densidades conjuntas duas a duas;
(e) densidades.
Passo 1
O enunciado nos dá a função densidade conjunta de (X_{1},X_{2},X_{3})\) em que
\[f_{X_{1},X_{2},X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3}) =\begin{cases} 6\,x_{1}\,x_{2}^{2}\,x_{3},&0\le x_{1}\le1,\;0\le x_{2}\le1,\;0\le x_{3}\le\sqrt{2},\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
O conteúdo é variáveis contínuas e queremos obter
(a) a função de distribuição conjunta F_{X_{1},X_{2},X_{3}}\],
(b) as distribuições conjuntas duas a duas,
\text{(c)} as marginais de distribuição,
(d) as densidades conjuntas duas a duas e
(e) as densidades marginais.
Vamos usar integração múltipla: para CDF tripla integramos a densidade até \((x_{1},x_{2},x_{3}); para CDF dupla e marginais, integramos sobre as variáveis não consideradas; e para densidades duplas e marginais integramos a densidade original.
Integramos em w: \int_{0}^{x_{3}}w\,dw=x_{3}^{2}/2.
Integramos em v: \int_{0}^{x_{2}}v^{2}\,dv=x_{2}^{3}/3.
Integramos em u: \int_{0}^{x_{1}}u\,du=x_{1}^{2}/2.
Multiplicando: