Obter a(s) função(ões)
(a) densidade conjunta;
(b) de distribuição marginais;
(c) densidades.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de distribuição conjunta F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) em regime piecewise e pede:
(a) a densidade conjunta f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2});
(b) as funções de distribuição marginais F_{X_{1}}(x_{1}) e F_{X_{2}}(x_{2});
(c) as respectivas densidades marginais f_{X_{1}}(x_{1}) e f_{X_{2}}(x_{2}).
Para isso usaremos que a densidade conjunta é
que a distribuição marginal de X_{1} sai de \lim_{x_{2}\to\infty}F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}), e similarmente para X_{2}, e que as densidades marginais são as derivadas dessas funções de distribuição.
Para achar a distribuição marginal de X_{1}\) pegamos \(\lim_{x_{2}\to\infty}F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})\). Note que \(e^{-x_{2}}\to0\) quando \(x_{2}\to\infty\). Portanto
\[F_{X_{1}}(x_{1}) =\begin{cases} 0,&x_{1}<0,\\\ \displaystyle\frac{x_{1}}{5},&0\le x_{1}<5,\\\\ 1,&x_{1}\ge5. \end{cases}
Para a distribuição marginal de X_{2}\] tomamos \(\lim_{x_{1}\to\infty}F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}). Quando x_{1}\ge5 a CDF é 1-e^{-x_{2}}, logo