Considere a seguinte função de distribuição conjunta associada ao vetor aleatório \left(X_{1}, X_{2}\right)^{\top}
F_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)= \begin{cases}0, & \text { se } x_{1}<0 \text { ou } x_{2}<0 \\\ \frac{x_{1}}{5}-\frac{x_{1} \exp \left\{-x_{2}\right\}}{5}, & \text { se } 0 \leq x_{1}<5, x_{2} \geq 0 \\\\ 1-\exp \left\{-x_{2}\right\}, & \text { se } x_{1} \geq 5, x_{2} \geq 0\end{cases}
Obter a(s) função(ões)
(a) densidade conjunta;
(b) de distribuição marginais;
(c) densidades.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição conjunta F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) em regime piecewise e pede:
(a) a densidade conjunta f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2});
(b) as funções de distribuição marginais F_{X_{1}}(x_{1}) e F_{X_{2}}(x_{2});
(c) as respectivas densidades marginais f_{X_{1}}(x_{1}) e f_{X_{2}}(x_{2}).
Para isso usaremos que a densidade conjunta é
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\frac{\partial^2}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}} F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}),
que a distribuição marginal de X_{1} sai de \lim_{x_{2}\to\infty}F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}), e similarmente para X_{2}, e que as densidades marginais são as derivadas dessas funções de distribuição.

Passo 2

Para 0<x_{1}<5 e x_{2}>0 temos
F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\frac{x_{1}}{5}-\frac{x_{1}\,e^{-x_{2}}}{5}.
Primeiro derivamos em relação a x_{2}:
\frac{\partial}{\partial x_{2}} \Bigl(\frac{x_{1}}{5}-\frac{x_{1}\,e^{-x_{2}}}{5}\Bigr) =\frac{x_{1}}{5}\,e^{-x_{2}}.
Agora derivamos esse resultado em relação a x_{1}:
\frac{\partial^2}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}} F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\frac{1}{5}\,e^{-x_{2}}.
Para outros x_{1},x_{2} fora de 0<x_{1}<5,\;x_{2}>0, a CDF é constante em algum sentido e gera densidade zero. Logo
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\begin{cases} \frac{1}{5}\,e^{-x_{2}},&0<x_{1}<5,\;x_{2}>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Para achar a distribuição marginal de X_{1}\) pegamos \(\lim_{x_{2}\to\infty}F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})\). Note que \(e^{-x_{2}}\to0\) quando \(x_{2}\to\infty\). Portanto \[F_{X_{1}}(x_{1}) =\begin{cases} 0,&x_{1}<0,\\\ \displaystyle\frac{x_{1}}{5},&0\le x_{1}<5,\\\\ 1,&x_{1}\ge5. \end{cases}
Para a distribuição marginal de X_{2}\] tomamos \(\lim_{x_{1}\to\infty}F_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}). Quando x_{1}\ge5 a CDF é 1-e^{-x_{2}}, logo
F_{X_{2}}(x_{2}) =\begin{cases} 0,&x_{2}<0,\\\\ 1-e^{-x_{2}},&x_{2}\ge0. \end{cases}

Passo 4

Agora derivamos essas marginais para obter as densidades:
Para X_{1}, em 0<x_{1}<5
f_{X_{1}}(x_{1}) =\frac{d}{dx_{1}}\!\bigl(\tfrac{x_{1}}{5}\bigr) =\frac{1}{5},
e f_{X_{1}}(x_{1})=0 fora desse intervalo.
Para X_{2}, em x_{2}>0
f_{X_{2}}(x_{2}) =\frac{d}{dx_{2}}\bigl(1-e^{-x_{2}}\bigr) =e^{-x_{2}},
e f_{X_{2}}(x_{2})=0 para x_{2}<0.

Resposta

(a)
f_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2}) =\begin{cases} \frac{1}{5}\,e^{-x_{2}},&0<x_{1}<5,\;x_{2}>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á
(b)
F_{X_{1}}(x_{1}) =\begin{cases} 0,&x_{1}<0,\\\ \frac{x_{1}}{5},&0\le x_{1}<5,\\\\ 1,&x_{1}\ge5, \end{cases} \quad F_{X_{2}}(x_{2}) =\begin{cases} 0,&x_{2}<0,\\\\ 1-e^{-x_{2}},&x_{2}\ge0. \end{cases}
(c)
f_{X_{1}}(x_{1}) =\begin{cases} \frac{1}{5},&0<x_{1}<5,\\\\ 0,&\text{caso contrário,} \end{cases} \quad f_{X_{2}}(x_{2}) =\begin{cases} e^{-x_{2}},&x_{2}>0,\\\\ 0,&x_{2}<0. \end{cases}á

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