A densidade conjunta de X e Y é dada por:
f_{X, Y}(x, y)=\frac{1}{2} I_{[-1,1]}(x) I_{[0,1]}(y)
(a) Determinar a função de distribuição conjunta de X e Y.
(b) Calcule as marginais de X e Y;
(c) X e Y são independentes?
(d) Obtenha \operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y)=\frac12\,I_{[-1,1]}(x)\,I_{[0,1]}(y),
isto é, X e Y são uniformes no retângulo [-1,1]\times[0,1]. Precisamos achar:
(a) a função de distribuição conjunta F_{X,Y}(x,y)=P(X\le x,\;Y\le y);
(b) as densidades marginais f_X e f_Y;
(c) verificar se X e Y são independentes;
(d) calcular \operatorname{Var}(X) e \operatorname{Var}(Y).

Passo 2

Para obter F_{X,Y}(x,y) usamos
F_{X,Y}(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f_{X,Y}(u,v)\,dv\,du.
Como f_{X,Y}(u,v)=\tfrac12 só em -1\le u\le1 e 0\le v\le1, temos o seguinte caso a caso:
F_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 0, & x< -1\\ \text{ou}\\ y<0,\\[6pt] \displaystyle \int_{-1}^{x}\int_{0}^{y}\frac12\,dv\,du =\frac{(x+1)\,y}{2}, & -1\le x\le1,\\\ 0\le y\le1,\\[8pt] \displaystyle \int_{-1}^{1}\int_{0}^{y}\frac12\,dv\,du =y, & x>1,\\\ 0\le y\le1,\\[6pt] \displaystyle \int_{-1}^{x}\int_{0}^{1}\frac12\,dv\,du =\frac{x+1}{2}, & -1\le x\le1,\\ y>1,\\[6pt] 1, & x>1,\\ y>1. \end{cases}]

Passo 3

As marginais saem integrando a densidade conjunta:
f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dy =\int_{0}^{1}\frac12\,dy =\frac12,\quad x\in[-1,1],
e zero fora desse intervalo.
f_Y(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y)\,dx =\int_{-1}^{1}\frac12\,dx =1,\quad y\in[0,1],
e zero fora de [0,1].

Passo 4

Verificamos que para -1\le x\le1 e 0\le y\le1
f_X(x)\,f_Y(y) =\frac12\cdot1 =\frac12 =f_{X,Y}(x,y).
Como isso vale em toda a região de suporte, X e Y são independentes.

Passo 5

Para X\sim\mathrm{Uniforme}(-1,1): \displaystyle E[X]=0 (simetria) e
E[X^2] =\int_{-1}^{1}x^2\cdot\frac12\,dx =\frac12\cdot\frac{2}{3} =\frac{1}{3}.
Logo
\operatorname{Var}(X) =E[X^2]-\bigl(E[X]\bigr)^2 =\frac{1}{3}-0 =\frac{1}{3}.
Para Y\sim\mathrm{Uniforme}(0,1): \displaystyle E[Y]=\frac12 e
E[Y^2] =\int_{0}^{1}y^2\,dy =\frac{1}{3},
logo
\operatorname{Var}(Y) =E[Y^2]-\bigl(E[Y]\bigr)^2 =\frac{1}{3}-\frac{1}{4} =\frac{1}{12}.

Resposta

(a)
F_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} 0, & x< -1\\ \text{ou}\\ y<0,\\[3pt] \displaystyle \frac{(x+1)\,y}{2}, & -1\le x\le1,\\\ 0\le y\le1,\\[3pt] y, & x>1,\\\ 0\le y\le1,\\[3pt] \displaystyle \frac{x+1}{2}, & -1\le x\le1,\\ y>1,\\[3pt] 1, & x>1,\\ y>1. \end{cases}
(b)
f_X(x)=\frac12\,I_{[-1,1]}(x), \quad f_Y(y)=1\cdot I_{[0,1]}(y).
(c) Sim, pois f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y) em todo o suporte.
(d)
\operatorname{Var}(X)=\frac{1}{3}, \quad \operatorname{Var}(Y)=\frac{1}{12}.]

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