Considere a seguinte função: f(t)=\frac{t}{\ln (t)}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função f(t)=\dfrac{t}{\ln(t)} e pede, sucessivamente:
  • determinar o domínio de f;
  • (opcional) raízes de f e se f é par ou ímpar;
  • equações das assíntotas verticais;
  • equações das assíntotas horizontais (ou justificar inexistência);
  • intervalos de crescimento e decrescimento;
  • pontos do domínio onde f tem máximo ou mínimo (e se são relativos/absolutos);
  • intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
  • esboço do gráfico com pontos notáveis indicados.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • a função é definida por f(t)=\dfrac{t}{\ln(t)};
  • a presença do logaritmo natural \ln(t) impõe restrições ao domínio (saber onde \ln(t) faz sentido e onde é zero).
    A partir daqui vamos analisar cada item passo a passo.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Primeiro lembrete rápido sobre \ln(t): a função \ln(t) está definida apenas para t>0. Além disso, a expressão \dfrac{t}{\ln(t)} exige \ln(t)\neq 0 (pois não se pode dividir por zero).
  • Condição 1: t>0 (para \ln(t) existir).
  • Condição 2: \ln(t)\neq 0. Sabendo que \ln(t)=0 se e somente se t=1.
Portanto o domínio é
(0,1)\cup(1,\infty).
Explicação intuitiva: todos os t positivos, exceto t=1 onde o denominador vira zero.

Passo 3

(Obrigatório/Opicional pedido) Raízes de f e paridade.
Raízes: resolver f(t)=0 é resolver
\frac{t}{\ln(t)}=0.
Numa fração, para ser zero o numerador tem de ser zero (desde que denom. ≠0). Aqui o numerador é t. A equação t=0 não fornece solução no domínio, porque t=0 não está no domínio (lembre: domínio exige t>0). Logo não existem raízes reais de f no domínio. Em palavras: f não corta o eixo t em nenhum ponto do domínio.
Paridade: para verificar se f é par ou ímpar, precisaríamos comparar f(-t) com f(t). Mas f(-t) não está definido para nenhum t>0 porque o domínio de f contém apenas números positivos. Assim não é possível ter a igualdade típica de função par f(-t)=f(t) nem a de função ímpar f(-t)=-f(t) em todo o domínio simétrico. Conclusão: f não é par nem ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais — procurar pontos do domínio limite onde f explode.
Assíntota vertical ocorre em um ponto a quando \lim_{t\to a} f(t)=\pm\infty (em geral checando limites laterais).
O único ponto onde o denominador pode se anular é t=1, que não pertence ao domínio. Vamos estudar os limites laterais em t\to1^- e t\to1^+.
  • Comportamento de \ln(t) perto de 1: para t\to1^- tem \ln(t)\to0^- (pequeno negativo); para t\to1^+ tem \ln(t)\to0^+ (pequeno positivo). O numerador t\to1 em ambos os lados.
Cálculo dos limites:
\lim_{t\to1^-}\frac{t}{\ln(t)}=\frac{1}{0^-}=-\infty, \qquad \lim_{t\to1^+}\frac{t}{\ln(t)}=\frac{1}{0^+}=+\infty.
Portanto f(t) diverge para -\infty quando t\to1^- e para +\infty quando t\to1^+. Assim existe uma assíntota vertical
t=1.
Observação sobre t\to0^+: como t\to0^+ e \ln(t)\to -\infty, a razão tende a 0 (não explode), então não há assíntota vertical em t=0. Explicação rápida: substituir t=e^{-u} com u\to\infty f(t)=-e^{-u}/u\to0.

Passo 5

Assíntotas horizontais — verificar limites em t\to\pm\infty.
Por definição usual de assíntota horizontal, olhamos os limites quando t\to+\infty e t\to-\infty. Aqui o domínio só tem t>0, então consideramos t\to+\infty.
Estudar \displaystyle\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{\ln(t)}. Intuitivamente, t cresce muito mais rápido que \ln(t), então a razão tende a +\infty. Formalmente pode-se dividir numerador e denominador por \ln(t) ou usar que \ln(t)=o(t). Logo
\lim_{t\to+\infty}\frac{t}{\ln(t)}=+\infty.
Portanto não existe assíntota horizontal para t\to+\infty.
Nota importante (para interpretar o comportamento perto da borda esquerda do domínio): \lim_{t\to0^+}\dfrac{t}{\ln(t)}=0. Isso significa que a função se aproxima da linha y=0 quando t\to0^+. Contudo, por convenção padrão, chamamos de assíntota horizontal apenas limites quando t\to\pm\infty; então não há assíntota horizontal no sentido usual. Se quiser anotar o fato prático: o gráfico aproxima a linha y=0 quando t\to0^+.

Passo 6

Intervalos de crescimento e decrescimento — derivada primeira.
Vamos derivar f(t)=\dfrac{t}{\ln(t)}. Usamos a regra do quociente: para f(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)},
f'(t)=\frac{u'(t)v(t)-u(t)v'(t)}{[v(t)]^2}.
Aqui u(t)=t (logo u'(t)=1) e v(t)=\ln(t) (logo v'(t)=\dfrac{1}{t}). Aplicando:
f'(t)=\frac{1\cdot\ln(t)-t\cdot\frac{1}{t}}{[\ln(t)]^2} =\frac{\ln(t)-1}{[\ln(t)]^2}.
Observações sobre o sinal de f'(t):
  • O denominador [\ln(t)]^2 é sempre positivo para todo t no domínio (pois \ln(t)\neq0 no domínio).
  • Assim o sinal de f'(t) é o sinal do numerador \ln(t)-1.
Resolver \ln(t)-1=0 t=e. Então:
  • Para 0<t<1: \ln(t)<0 então \ln(t)-1<0 \Rightarrow f'(t)<0.
  • Para 1<t<e: 0<\ln(t)<1 então \ln(t)-1<0 \Rightarrow f'(t)<0.
  • Para t>e: \ln(t)>1 então \ln(t)-1>0 \Rightarrow f'(t)>0.
Conclusão:
  • f é decrescente em (0,1) e também em (1,e).
  • f é crescente em (e,\infty).
(Motivo intuitivo: t=1 é descontinuidade; para a monotonicidade consideramos os intervalos conectados do domínio.)

Passo 7

Máximos e mínimos (pontos críticos e natureza).
Pontos críticos onde f'(t)=0 ocorrem em t=e. Em t=e a derivada muda de negativa para positiva (checa-se o sinal à esquerda é negativo, à direita é positivo), então t=e é ponto de mínimo relativo.
Valor da função nesse ponto:
f(e)=\frac{e}{\ln(e)}=\frac{e}{1}=e.
Sobre ser absoluto ou relativo:
  • Na porção direita do domínio (1,\infty), a função tende para +\infty quando t\to1^+ e também para +\infty quando t\to\infty; como f(e)=e é o menor valor nessa porção, é um mínimo absoluto sobre (1,\infty).
  • Entretanto, sobre o domínio inteiro (0,1)\cup(1,\infty) a função atinge valores negativos arbitrariamente pequenos (quando t\to1^-, f\to -\infty), então não existe mínimo absoluto finito sobre todo o domínio. Também não existe máximo absoluto finito (pois f\to+\infty ao aproximar 1^+ e também quando t\to\infty).
Resumo:
  • t=e é um mínimo relativo (e é mínimo absoluto em (1,\infty)), com valor f(e)=e.
  • Não há máximos relativos; não há máximo absoluto nem mínimo absoluto finito sobre todo o domínio.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão — derivada segunda.
Temos f'(t)=\dfrac{\ln(t)-1}{[\ln(t)]^2}. Derivando novamente (usar regra do quociente ou derivada do produto), obtém-se, após simplificação:
f''(t)=\frac{2-\ln(t)}{t\,[\ln(t)]^3}.
Vou explicar rapidamente como se chega a isso (passo a passo didático):
  • Considere f'(t)=\dfrac{u(t)}{v(t)} com u(t)=\ln(t)-1 e v(t)=[\ln(t)]^2.
  • u'(t)=1/t.
  • v'(t)=2\ln(t)\cdot(1/t)=\dfrac{2\ln(t)}{t}.
  • Então
f''(t)=\frac{u'v-uv'}{v^2} =\frac{\dfrac{1}{t}[\ln(t)]^2-(\ln(t)-1)\dfrac{2\ln(t)}{t}}{[\ln(t)]^4}.
Fatorando \dfrac{1}{t}\ln(t) no numerador e simplificando chega-se a
f''(t)=\frac{2-\ln(t)}{t[\ln(t)]^3}.
Agora o sinal de f''(t) determina a concavidade:
  • O fator t>0 é sempre positivo no domínio.
  • O sinal da expressão depende do produto (2-\ln(t)) e do sinal de [\ln(t)]^3 (o cubo preserva o sinal de \ln(t)).
Analisando intervalos:
  • Para 0<t<1: \ln(t)<0 então [\ln(t)]^3<0. Além disso 2-\ln(t)>2 (positivo). Resultado: f''(t)<0. Logo concavidade para baixo em (0,1).
  • Para 1<t<e^2: 0<\ln(t)<2 então 2-\ln(t)>0 e [\ln(t)]^3>0, logo f''(t)>0. Concavidade para cima em (1,e^2).
  • Para t>e^2: \ln(t)>2 então 2-\ln(t)<0 e [\ln(t)]^3>0, logo f''(t)<0. Concavidade para baixo em (e^2,\infty).
Pontos de inflexão ocorrem onde f''(t)=0 e há troca de concavidade. Igualando f''(t)=0 obtemos \ln(t)=2 t=e^2. Há troca de sinal de f'' ao redor de e^2, portanto t=e^2 é ponto de inflexão.
Valor da função no ponto de inflexão:
f(e^2)=\frac{e^2}{\ln(e^2)}=\frac{e^2}{2}.

Passo 9

Resumo dos limites e pontos notáveis para facilitar o esboço:
Limites importantes (já usados acima):
\lim_{t\to0^+} \frac{t}{\ln(t)}=0, \qquad \lim_{t\to1^-} \frac{t}{\ln(t)}=-\infty, \qquad \lim_{t\to1^+} \frac{t}{\ln(t)}=+\infty, \qquad \lim_{t\to\infty} \frac{t}{\ln(t)}=+\infty.
Pontos notáveis:
  • Não há raízes.
  • Assíntota vertical: t=1.
  • Comportamento próximo a 0^+: aproxima-se de y=0.
  • Ponto crítico (mínimo relativo): t=e, com f(e)=e.
  • Ponto de inflexão: t=e^2, com f(e^2)=\dfrac{e^2}{2}.
  • Monotonicidade: decrescente em (0,1) e (1,e); crescente em (e,\infty).
  • Concavidade: côncava para baixo em (0,1) e (e^2,\infty); côncava para cima em (1,e^2).

Passo 10

Como esboçar o gráfico (instruções práticas para a prova) — passo a passo para desenhar:
  1. Trace o eixo t horizontal (apenas t>0 importa) e o eixo y vertical. Marque a reta vertical t=1 como assíntota (linha tracejada).
  2. À esquerda de t=1 (intervalo (0,1)):
    • a função é decrescente, côncava para baixo;
    • quando t\to0^+, f(t)\to0 (o gráfico aproxima o eixo y=0 vindo por cima ou por baixo? Para t pequeno positivo, \ln(t) é negativo grande e t é positivo pequeno, então f(t) é negativo pequeno; portanto aproxima 0 por valores negativos — o gráfico vem de y=0^-);
    • când t\to1^-, f(t)\to-\infty (vai para baixo).
  3. À direita de t=1 (intervalo (1,\infty)):
    • para 1<t<e: função decrescente e côncava para cima;
    • em t=e: mínimo relativo, ponto (e,e);
    • para e<t<e^2: função crescente e côncava para cima;
    • em t=e^2: ponto de inflexão \left(e^2,\dfrac{e^2}{2}\right);
    • para t>e^2: função cresce (continua crescente) mas passa a ser côncava para baixo; e conforme t\to\infty a função diverge para +\infty.
  4. Não há intercepto com o eixo t (nenhuma raiz). Não há máximo local.
  5. Marque no esboço os pontos: (e,e) como mínimo relativo e \left(e^2,\dfrac{e^2}{2}\right) como ponto de inflexão. Indique a assíntota vertical t=1. Indique que a curva se aproxima de y=0 quando t\to0^+ (mas não cruza o eixo t nem atinge 0).
Com isso tem-se todo o conjunto de informações necessárias para traçar um esboço qualitativo correto do gráfico de f e para justificar o comportamento em provas.

Resposta

Domínio: (0,1)\cup(1,\infty).
Raízes e paridade: não existem raízes no domínio; f não é nem par nem ímpar.
Assíntotas verticais: t=1 (pois \lim_{t\to1^-}f(t)=-\infty e \lim_{t\to1^+}f(t)=+\infty).
Assíntotas horizontais: não há assíntota horizontal no sentido padrão ( t\to\infty) porque \lim_{t\to\infty}f(t)=+\infty. Observação: \lim_{t\to0^+}f(t)=0, logo o gráfico aproxima a reta y=0 quando t\to0^+, mas isso não é uma assíntota horizontal no sentido usual de t\to\pm\infty.
Crescimento/decrescimento: f é decrescente em (0,1) e em (1,e); f é crescente em (e,\infty). (Derivada: f'(t)=\dfrac{\ln(t)-1}{[\ln(t)]^2}.)
Máximos/mínimos: ponto crítico em t=e com f(e)=e. É mínimo relativo (e é mínimo absoluto na porção (1,\infty)), mas não é mínimo absoluto no domínio inteiro (pois f\to-\infty quando t\to1^-). Não há máximos relativos nem máximos absolutos finitos.
Concavidade e inflexão: f''(t)=\dfrac{2-\ln(t)}{t[\ln(t)]^3}. Assim f é côncava para baixo em (0,1) e em (e^2,\infty); côncava para cima em (1,e^2). Ponto de inflexão em t=e^2 com f(e^2)=\dfrac{e^2}{2}.

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