Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede, sucessivamente:
- determinar o domínio de
; - (opcional) raízes de
e se é par ou ímpar; - equações das assíntotas verticais;
- equações das assíntotas horizontais (ou justificar inexistência);
- intervalos de crescimento e decrescimento;
- pontos do domínio onde
tem máximo ou mínimo (e se são relativos/absolutos); - intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
- esboço do gráfico com pontos notáveis indicados.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- a função é definida por
; - a presença do logaritmo natural
impõe restrições ao domínio (saber onde faz sentido e onde é zero).
A partir daqui vamos analisar cada item passo a passo.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Primeiro lembrete rápido sobre
: a função
está definida apenas para
. Além disso, a expressão
exige
(pois não se pode dividir por zero).
- Condição 1:
(para existir). - Condição 2:
. Sabendo que se e somente se .
Portanto o domínio é
Explicação intuitiva: todos os
positivos, exceto
onde o denominador vira zero.
Passo 3
(Obrigatório/Opicional pedido) Raízes de
e paridade.
Raízes: resolver
é resolver
Numa fração, para ser zero o numerador tem de ser zero (desde que denom. ≠0). Aqui o numerador é
. A equação
não fornece solução no domínio, porque
não está no domínio (lembre: domínio exige
). Logo não existem raízes reais de
no domínio. Em palavras:
não corta o eixo
em nenhum ponto do domínio.
Paridade: para verificar se
é par ou ímpar, precisaríamos comparar
com
. Mas
não está definido para nenhum
porque o domínio de
contém apenas números positivos. Assim não é possível ter a igualdade típica de função par
nem a de função ímpar
em todo o domínio simétrico. Conclusão:
não é par nem ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais — procurar pontos do domínio limite onde
explode.
Assíntota vertical ocorre em um ponto
quando
(em geral checando limites laterais).
O único ponto onde o denominador pode se anular é
, que não pertence ao domínio. Vamos estudar os limites laterais em
e
.
- Comportamento de
perto de : para tem (pequeno negativo); para tem (pequeno positivo). O numerador em ambos os lados.
Cálculo dos limites:
Portanto
diverge para
quando
e para
quando
. Assim existe uma assíntota vertical
Observação sobre
: como
e
, a razão tende a
(não explode), então não há assíntota vertical em
. Explicação rápida: substituir
com
dá
.
Passo 5
Assíntotas horizontais — verificar limites em
.
Por definição usual de assíntota horizontal, olhamos os limites quando
e
. Aqui o domínio só tem
, então consideramos
.
Estudar
. Intuitivamente,
cresce muito mais rápido que
, então a razão tende a
. Formalmente pode-se dividir numerador e denominador por
ou usar que
. Logo
Portanto não existe assíntota horizontal para
.
Nota importante (para interpretar o comportamento perto da borda esquerda do domínio):
. Isso significa que a função se aproxima da linha
quando
. Contudo, por convenção padrão, chamamos de assíntota horizontal apenas limites quando
; então não há assíntota horizontal no sentido usual. Se quiser anotar o fato prático: o gráfico aproxima a linha
quando
.
Passo 6
Intervalos de crescimento e decrescimento — derivada primeira.
Vamos derivar
. Usamos a regra do quociente: para
,
Aqui
(logo
) e
(logo
). Aplicando:
Observações sobre o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para todo no domínio (pois no domínio). - Assim o sinal de
é o sinal do numerador .
Resolver
dá
. Então:
- Para
: então . - Para
: então . - Para
: então .
Conclusão:
-
é decrescente em e também em . -
é crescente em .
(Motivo intuitivo:
é descontinuidade; para a monotonicidade consideramos os intervalos conectados do domínio.)
Passo 7
Máximos e mínimos (pontos críticos e natureza).
Pontos críticos onde
ocorrem em
. Em
a derivada muda de negativa para positiva (checa-se o sinal à esquerda é negativo, à direita é positivo), então
é ponto de mínimo relativo.
Valor da função nesse ponto:
Sobre ser absoluto ou relativo:
- Na porção direita do domínio
, a função tende para quando e também para quando ; como é o menor valor nessa porção, é um mínimo absoluto sobre . - Entretanto, sobre o domínio inteiro
a função atinge valores negativos arbitrariamente pequenos (quando , ), então não existe mínimo absoluto finito sobre todo o domínio. Também não existe máximo absoluto finito (pois ao aproximar e também quando ).
Resumo:
-
é um mínimo relativo (e é mínimo absoluto em ), com valor . - Não há máximos relativos; não há máximo absoluto nem mínimo absoluto finito sobre todo o domínio.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão — derivada segunda.
Temos
. Derivando novamente (usar regra do quociente ou derivada do produto), obtém-se, após simplificação:
Vou explicar rapidamente como se chega a isso (passo a passo didático):
- Considere
com e . -
. -
. - Então
Fatorando
no numerador e simplificando chega-se a
Agora o sinal de
determina a concavidade:
- O fator
é sempre positivo no domínio. - O sinal da expressão depende do produto
e do sinal de (o cubo preserva o sinal de ).
Analisando intervalos:
- Para
: então . Além disso (positivo). Resultado: . Logo concavidade para baixo em . - Para
: então e , logo . Concavidade para cima em . - Para
: então e , logo . Concavidade para baixo em .
Pontos de inflexão ocorrem onde
e há troca de concavidade. Igualando
obtemos
→
. Há troca de sinal de
ao redor de
, portanto
é ponto de inflexão.
Valor da função no ponto de inflexão:
Passo 9
Resumo dos limites e pontos notáveis para facilitar o esboço:
Limites importantes (já usados acima):
Pontos notáveis:
- Não há raízes.
- Assíntota vertical:
. - Comportamento próximo a
: aproxima-se de . - Ponto crítico (mínimo relativo):
, com . - Ponto de inflexão:
, com . - Monotonicidade: decrescente em
e ; crescente em . - Concavidade: côncava para baixo em
e ; côncava para cima em .
Passo 10
Como esboçar o gráfico (instruções práticas para a prova) — passo a passo para desenhar:
- Trace o eixo
horizontal (apenas importa) e o eixo vertical. Marque a reta vertical como assíntota (linha tracejada). - À esquerda de
(intervalo ): - a função é decrescente, côncava para baixo;
- quando
, (o gráfico aproxima o eixo vindo por cima ou por baixo? Para pequeno positivo, é negativo grande e é positivo pequeno, então é negativo pequeno; portanto aproxima por valores negativos — o gráfico vem de ); - când
, (vai para baixo).
- À direita de
(intervalo ): - para
: função decrescente e côncava para cima; - em
: mínimo relativo, ponto ; - para
: função crescente e côncava para cima; - em
: ponto de inflexão ; - para
: função cresce (continua crescente) mas passa a ser côncava para baixo; e conforme a função diverge para .
- para
- Não há intercepto com o eixo
(nenhuma raiz). Não há máximo local. - Marque no esboço os pontos:
como mínimo relativo e como ponto de inflexão. Indique a assíntota vertical . Indique que a curva se aproxima de quando (mas não cruza o eixo nem atinge 0).
Com isso tem-se todo o conjunto de informações necessárias para traçar um esboço qualitativo correto do gráfico de
e para justificar o comportamento em provas.
Resposta
Domínio:
.
Raízes e paridade: não existem raízes no domínio;
não é nem par nem ímpar.
Assíntotas verticais:
(pois
e
).
Assíntotas horizontais: não há assíntota horizontal no sentido padrão (
) porque
. Observação:
, logo o gráfico aproxima a reta
quando
, mas isso não é uma assíntota horizontal no sentido usual de
.
Crescimento/decrescimento:
é decrescente em
e em
;
é crescente em
. (Derivada:
.)
Máximos/mínimos: ponto crítico em
com
. É mínimo relativo (e é mínimo absoluto na porção
), mas não é mínimo absoluto no domínio inteiro (pois
quando
). Não há máximos relativos nem máximos absolutos finitos.
Concavidade e inflexão:
. Assim
é côncava para baixo em
e em
; côncava para cima em
. Ponto de inflexão em
com
.