Considere a seguinte função: \operatorname{csch}(x)=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Função dada: \operatorname{csch}(x)=\dfrac{2}{e^{x}-e^{-x}}.
  • Pedidos (cada um será tratado separadamente):
    1. Determinar o domínio de f.
    2. (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e identificar se f é par, ímpar ou nenhuma das opções.
    3. Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência).
    4. Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência).
    5. Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
    6. Determinar pontos de máximo ou mínimo no domínio (se houver), e se são relativos/absolutos.
    7. Determinar intervalos de concavidade (côncavo para cima / para baixo) e pontos de inflexão (se houver).
    8. Esboçar o gráfico usando todas as informações anteriores, indicando coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
Informações úteis que já estão explícitas: a definição explícita em termos de exponenciais permite manipular limites, derivadas e simplificações algébricas. A função também pode ser escrita como \operatorname{csch}(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}(x)} porque \operatorname{sinh}(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}.

Passo 2

Domínio de f.
  • A função está escrita como uma fração. Para que f(x) esteja definida, o denominador não pode ser zero: e^{x}-e^{-x}\neq 0.
  • Observe que \operatorname{sinh}(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}. Então o denominador é zero exatamente quando \operatorname{sinh}(x)=0.
  • Resolve-se \operatorname{sinh}(x)=0. Sabendo a definição, \operatorname{sinh}(x)=0 se, e somente se, e^{x}-e^{-x}=0, ou seja e^{2x}=1 que dá 2x=0\Rightarrow x=0.
  • Portanto o único ponto proibido é x=0.
Conclusão do domínio:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

(1) Raízes de f. (2) Paridade de f.
  1. Raízes: procurar x tal que \operatorname{csch}(x)=0.
  • Como \operatorname{csch}(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}(x)}, a igualdade \operatorname{csch}(x)=0 exigiria \dfrac{1}{\operatorname{sinh}(x)}=0.
  • Uma fração \dfrac{1}{A} só é zero se o numerador for zero; aqui o numerador é 1, nunca zero. Logo não existem soluções.
  • Conclusão: não há raízes (nenhum x no domínio satisfaz f(x)=0).
  1. Paridade: calcular f(-x) e comparar com f(x).
f(-x)=\operatorname{csch}(-x)=\frac{2}{e^{-x}-e^{x}}=\frac{2}{-(e^{x}-e^{-x})}=-\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}=-f(x).
Portanto f(-x)=-f(x) para todo x no domínio, o que significa que f é ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais.
  • Assíntota vertical pode ocorrer onde a função não está definida e o limite lateral tende a \pm\infty.
  • Temos apagado do domínio o ponto x=0. Vamos calcular os limites laterais:
    • Para x\to 0^{+}: usar que para x pequeno \operatorname{sinh}(x)\approx x. Como \operatorname{csch}(x)=1/\operatorname{sinh}(x), obtemos \operatorname{csch}(x)\approx 1/x. Assim \lim_{x\to 0^{+}}\operatorname{csch}(x)=+\infty.Mais formalmente, usando e^{x}-e^{-x}\sim 2x quando x\to0, \operatorname{csch}(x)\sim 1/x\to+\infty.
    • Para x\to 0^{-}: por simetria e pelo comportamento ímpar, \lim_{x\to 0^{-}}\operatorname{csch}(x)=-\infty.
  • Logo existe uma assíntota vertical em x=0. Não há outros pontos fora do domínio, logo não há outras possíveis assíntotas verticais.
Conclusão: equação da assíntota vertical: x=0.

Passo 5

Assíntotas horizontais.
  • Avaliar \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\operatorname{csch}(x) e \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\operatorname{csch}(x).
  • Para x\to+\infty: e^{x} domina e^{-x}, então e^{x}-e^{-x}\sim e^{x} e \operatorname{csch}(x)=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}\sim \frac{2}{e^{x}}\to 0^{+}.
  • Para x\to-\infty: e^{-x} domina e e^{x}-e^{-x}\sim -e^{-x}, então \operatorname{csch}(x)\sim \frac{2}{-e^{-x}}=-2e^{x}\to 0^{-}.
  • Em ambos os sentidos a função tende a 0. Portanto a reta horizontal y=0 é uma assíntota horizontal.
Conclusão: equação da assíntota horizontal: y=0.

Passo 6

Crescimento/decrescimento: derivada primeira e sinal.
  • Uso uma forma conveniente: \operatorname{csch}(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}(x)}.
  • Calcular f'(x). Seja f(x)=\operatorname{sinh}(x)^{-1}. Aplicando regra da derivada (cadeia e potência): f'(x)=-1\cdot \operatorname{sinh}(x)^{-2}\cdot \operatorname{cosh}(x) = -\frac{\operatorname{cosh}(x)}{\operatorname{sinh}^{2}(x)}.Também se pode lembrar da identidade hiperbólica conhecida \dfrac{d}{dx}\operatorname{csch}(x)=-\operatorname{csch}(x)\operatorname{coth}(x), que é equivalente (pois \operatorname{coth}(x)=\dfrac{\operatorname{cosh}(x)}{\operatorname{sinh}(x)}).
  • Agora analisar o sinal de f'(x):
    • \operatorname{cosh}(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
    • \operatorname{sinh}^{2}(x)>0 para todo x\neq 0.
    • Logo o quociente \dfrac{\operatorname{cosh}(x)}{\operatorname{sinh}^{2}(x)} é sempre positivo no domínio, e há o sinal negativo na frente.
    • Portanto f'(x)<0 para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Conclusão: f é estritamente decrescente em cada componente do domínio. Como o domínio tem duas componentes conectadas, escrevemos:
    • f é decrescente em (-\infty,0).
    • f é decrescente em (0,+\infty).
(Observação didática: decrescente em todo o domínio não-contínuo significa decrescente em cada intervalo onde está definida; a presença da descontinuidade em 0 impede falar de uma única curva contínua passando por 0.)

Passo 7

Máximos e mínimos (valores extremos).
  • Para existir um extremo em um ponto do domínio, normalmente procuramos pontos críticos ( f'(x)=0) ou pontos de fronteira do domínio.
  • Aqui f'(x) nunca é zero para x\in\mathbb{R}\setminus\{0\} (pois \operatorname{cosh}(x)>0 e \operatorname{sinh}^{2}(x)>0), logo não há pontos críticos internos.
  • O ponto x=0 não pertence ao domínio, portanto não é candidato a máximo/minimo dentro do domínio.
  • Podemos, no entanto, comentar sobre supremo e ínfimo em cada componente:
    • Em (0,\infty): \lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to+\infty}f(x)=0^{+}. Não existe máximo finito nem mínimo absoluto alcançado; o supremo é +\infty (não alcançado) e o ínfimo é 0 (não alcançado).
    • Em (-\infty,0): \lim_{x\to0^{-}}f(x)=-\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=0^{-}. Não existe mínimo finito nem máximo finito alcançado; o ínfimo é -\infty (não alcançado) e o supremo é 0 (não alcançado).
  • Conclusão prática pedida: não existem pontos de máximo ou mínimo (relativos ou absolutos) no domínio.

Passo 8

Concavidade e pontos de inflexão: derivada segunda e análise de sinal.
  • Já temos f'(x)=-\dfrac{\operatorname{cosh}(x)}{\operatorname{sinh}^{2}(x)}.
  • Calcular f''(x). Usando derivação do produto/potência ou derivando explicitamente: f''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(-\operatorname{cosh}(x)\operatorname{sinh}(x)^{-2}\right).Procedendo passo a passo: f''(x)=-\left(\operatorname{sinh}(x)\operatorname{sinh}(x)^{-2} + \operatorname{cosh}(x)\cdot(-2)\operatorname{sinh}(x)^{-3}\operatorname{cosh}(x)\right).Simplificando: f''(x)=-\left(\operatorname{sinh}(x)^{-1} - 2\frac{\operatorname{cosh}^{2}(x)}{\operatorname{sinh}^{3}(x)}\right) =\frac{-\operatorname{sinh}^{2}(x)+2\operatorname{cosh}^{2}(x)}{\operatorname{sinh}^{3}(x)}.Usando \operatorname{cosh}^{2}(x)=1+\operatorname{sinh}^{2}(x) obtemos -\operatorname{sinh}^{2}(x)+2\operatorname{cosh}^{2}(x)=-\operatorname{sinh}^{2}(x)+2(1+\operatorname{sinh}^{2}(x))=2+\operatorname{sinh}^{2}(x).Assim f''(x)=\frac{2+\operatorname{sinh}^{2}(x)}{\operatorname{sinh}^{3}(x)}.
  • Análise do sinal de f''(x):
    • O numerador 2+\operatorname{sinh}^{2}(x) é sempre positivo (é maior que 2).
    • O denominador \operatorname{sinh}^{3}(x) tem o mesmo sinal de \operatorname{sinh}(x).
    • Logo:
      • Para x>0 temos \operatorname{sinh}(x)>0\Rightarrow \operatorname{sinh}^{3}(x)>0\Rightarrow f''(x)>0. Logo f é côncava para cima em (0,\infty).
      • Para x<0 temos \operatorname{sinh}(x)<0\Rightarrow \operatorname{sinh}^{3}(x)<0\Rightarrow f''(x)<0. Logo f é côncava para baixo em (-\infty,0).
  • Pontos de inflexão: são pontos do domínio onde f''(x)=0 ou onde ocorre mudança de concavidade com x no domínio. Aqui:
    • f''(x) nunca se anula (numerador sempre positivo) e muda de sinal em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio.
    • Portanto não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 9

Esboço do gráfico e pontos notáveis (uso das informações anteriores).
  • Resumo das características principais (para orientar o esboço):
    • Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
    • Ímpar: sim, simetria ímpar ao redor da origem.
    • Assíntota vertical: x=0 com \lim_{x\to0^{+}}f(x)=+\infty e \lim_{x\to0^{-}}f(x)=-\infty.
    • Assíntota horizontal: y=0, com aproximação por cima quando x\to+\infty e por baixo quando x\to-\infty.
    • Monotonicidade: estritamente decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
    • Extremos: nenhum no domínio.
    • Concavidade: côncavo para baixo em (-\infty,0); côncavo para cima em (0,\infty).
    • Pontos notáveis que vale marcar (valores aproximados para ajudar o esboço):
      • f(1)=\operatorname{csch}(1)=\dfrac{1}{\operatorname{sinh}(1)}\approx \dfrac{1}{1{,}175201193}\approx 0{,}850.
      • f(-1)\approx -0{,}850 (pela ímparidade).
  • Como desenhar:
    • No lado direito ( x>0): curva começa em +\infty ao aproximar x de 0^{+}, decresce, é côncava para cima, aproxima-se de y=0 por cima quando x\to+\infty. Passe por (1,\,0{,}850) como referência.
    • No lado esquerdo ( x<0): por simetria ímpar, começa em -\infty ao aproximar 0^{-}, decresce (em sentido de x negativo: os valores se aproximam de 0^{-} quando x\to-\infty), é côncava para baixo, aproxima-se de y=0 por baixo. Passe por (-1,\,-0{,}850).
    • Marcar as retas x=0 (vertical) e y=0 (horizontal) no esboço.
  • Observação final de interpretação: a forma do gráfico é a clássica de \operatorname{csch}(x): duas “ramas” separadas por uma assíntota vertical em x=0, com decrescimento e concavidades opostas, e com a assíntota horizontal y=0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}\setminus\{0\}.
Raízes: não existem.
Paridade: f é ímpar.
Assíntotas verticais: x=0.
Assíntotas horizontais: y=0.
Crescimento/decrescimento: f é estritamente decrescente em (-\infty,0) e em (0,\infty).
Máximos e mínimos: não existem pontos de máximo ou mínimo no domínio.
Concavidade: f é côncava para baixo em (-\infty,0) e côncava para cima em (0,\infty). Pontos de inflexão: não há pontos de inflexão no domínio.
(esboço): ramo direito: x\to0^{+}\Rightarrow f(x)\to+\infty, f(1)\approx0{,}850, x\to+\infty\Rightarrow f(x)\to0^{+}. Ramo esquerdo: simétrico ímpar, x\to0^{-}\Rightarrow f(x)\to-\infty, f(-1)\approx-0{,}850, x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to0^{-}.

Exercícios relacionados