Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Função dada:
. - Pedidos (cada um será tratado separadamente):
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e identificar se é par, ímpar ou nenhuma das opções. - Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a não existência).
- Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a não existência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
. - Determinar pontos de máximo ou mínimo no domínio (se houver), e se são relativos/absolutos.
- Determinar intervalos de concavidade (côncavo para cima / para baixo) e pontos de inflexão (se houver).
- Esboçar o gráfico usando todas as informações anteriores, indicando coordenadas dos pontos notáveis obtidos.
- Determinar o domínio de
Informações úteis que já estão explícitas: a definição explícita em termos de exponenciais permite manipular limites, derivadas e simplificações algébricas. A função também pode ser escrita como
porque
.
Passo 2
Domínio de
.
- A função está escrita como uma fração. Para que
esteja definida, o denominador não pode ser zero: - Observe que
. Então o denominador é zero exatamente quando . - Resolve-se
. Sabendo a definição, se, e somente se, , ou seja que dá . - Portanto o único ponto proibido é
.
Conclusão do domínio:
Passo 3
(1) Raízes de
. (2) Paridade de
.
- Raízes: procurar
tal que .
- Como
, a igualdade exigiria . - Uma fração
só é zero se o numerador for zero; aqui o numerador é , nunca zero. Logo não existem soluções. - Conclusão: não há raízes (nenhum
no domínio satisfaz ).
- Paridade: calcular
e comparar com .
Portanto
para todo
no domínio, o que significa que
é ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais.
- Assíntota vertical pode ocorrer onde a função não está definida e o limite lateral tende a
. - Temos apagado do domínio o ponto
. Vamos calcular os limites laterais: - Para
: usar que para pequeno . Como , obtemos . Assim Mais formalmente, usando quando , . - Para
: por simetria e pelo comportamento ímpar,
- Para
- Logo existe uma assíntota vertical em
. Não há outros pontos fora do domínio, logo não há outras possíveis assíntotas verticais.
Conclusão: equação da assíntota vertical:
.
Passo 5
Assíntotas horizontais.
- Avaliar
e . - Para
: domina , então e - Para
: domina e , então - Em ambos os sentidos a função tende a
. Portanto a reta horizontal é uma assíntota horizontal.
Conclusão: equação da assíntota horizontal:
.
Passo 6
Crescimento/decrescimento: derivada primeira e sinal.
- Uso uma forma conveniente:
. - Calcular
. Seja . Aplicando regra da derivada (cadeia e potência): Também se pode lembrar da identidade hiperbólica conhecida , que é equivalente (pois ). - Agora analisar o sinal de
: -
para todo . -
para todo . - Logo o quociente
é sempre positivo no domínio, e há o sinal negativo na frente. - Portanto
para todo .
-
- Conclusão:
é estritamente decrescente em cada componente do domínio. Como o domínio tem duas componentes conectadas, escrevemos: -
é decrescente em . -
é decrescente em .
-
(Observação didática: decrescente em todo o domínio não-contínuo significa decrescente em cada intervalo onde está definida; a presença da descontinuidade em
impede falar de uma única curva contínua passando por
.)
Passo 7
Máximos e mínimos (valores extremos).
- Para existir um extremo em um ponto do domínio, normalmente procuramos pontos críticos (
) ou pontos de fronteira do domínio. - Aqui
nunca é zero para (pois e ), logo não há pontos críticos internos. - O ponto
não pertence ao domínio, portanto não é candidato a máximo/minimo dentro do domínio. - Podemos, no entanto, comentar sobre supremo e ínfimo em cada componente:
- Em
: e . Não existe máximo finito nem mínimo absoluto alcançado; o supremo é (não alcançado) e o ínfimo é (não alcançado). - Em
: e . Não existe mínimo finito nem máximo finito alcançado; o ínfimo é (não alcançado) e o supremo é (não alcançado).
- Em
- Conclusão prática pedida: não existem pontos de máximo ou mínimo (relativos ou absolutos) no domínio.
Passo 8
Concavidade e pontos de inflexão: derivada segunda e análise de sinal.
- Já temos
. - Calcular
. Usando derivação do produto/potência ou derivando explicitamente: Procedendo passo a passo: Simplificando: Usando obtemos Assim - Análise do sinal de
: - O numerador
é sempre positivo (é maior que ). - O denominador
tem o mesmo sinal de . - Logo:
- Para
temos . Logo é côncava para cima em . - Para
temos . Logo é côncava para baixo em .
- Para
- O numerador
- Pontos de inflexão: são pontos do domínio onde
ou onde ocorre mudança de concavidade com no domínio. Aqui: -
nunca se anula (numerador sempre positivo) e muda de sinal em , mas não pertence ao domínio. - Portanto não há pontos de inflexão no domínio.
-
Passo 9
Esboço do gráfico e pontos notáveis (uso das informações anteriores).
- Resumo das características principais (para orientar o esboço):
- Domínio:
. - Ímpar: sim, simetria ímpar ao redor da origem.
- Assíntota vertical:
com e . - Assíntota horizontal:
, com aproximação por cima quando e por baixo quando . - Monotonicidade: estritamente decrescente em
e em . - Extremos: nenhum no domínio.
- Concavidade: côncavo para baixo em
; côncavo para cima em . - Pontos notáveis que vale marcar (valores aproximados para ajudar o esboço):
-
. -
(pela ímparidade).
-
- Domínio:
- Como desenhar:
- No lado direito (
): curva começa em ao aproximar de , decresce, é côncava para cima, aproxima-se de por cima quando . Passe por como referência. - No lado esquerdo (
): por simetria ímpar, começa em ao aproximar , decresce (em sentido de x negativo: os valores se aproximam de quando ), é côncava para baixo, aproxima-se de por baixo. Passe por . - Marcar as retas
(vertical) e (horizontal) no esboço.
- No lado direito (
- Observação final de interpretação: a forma do gráfico é a clássica de
: duas “ramas” separadas por uma assíntota vertical em , com decrescimento e concavidades opostas, e com a assíntota horizontal .
Resposta
Domínio:
.
Raízes: não existem.
Paridade:
é ímpar.
Assíntotas verticais:
.
Assíntotas horizontais:
.
Crescimento/decrescimento:
é estritamente decrescente em
e em
.
Máximos e mínimos: não existem pontos de máximo ou mínimo no domínio.
Concavidade:
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
. Pontos de inflexão: não há pontos de inflexão no domínio.
(esboço): ramo direito:
,
,
. Ramo esquerdo: simétrico ímpar,
,
,
.