Considere a seguinte função: f(t)=t \ln (t).
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(t)=t\ln(t) e pede, sucessivamente:
  • determinar o domínio de f;
  • (opcional) determinar as raízes de f (se houver) e se f é par, ímpar ou nenhuma das duas;
  • obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a ausência);
  • obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a ausência);
  • encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f;
  • determinar pontos de máximo ou mínimo (e se são absolutos ou relativos);
  • determinar intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
  • esboçar o gráfico indicando pontos notáveis obtidos.
Informações explícitas dadas: a fórmula da função é \;f(t)=t\ln(t)\;. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Determinar o domínio de f.
Explicando o que impede que um número t esteja no domínio: a função \ln(t) só é definida para argumentos positivos. Assim, para que f(t)=t\ln(t) faça sentido, é necessário ter \ln(t) definido, isto é, t>0.
Portanto o domínio natural (pelo enunciado) é
(0,\infty).
Observação didática: embora exista o limite \lim_{t\to0^+} t\ln t = 0 (verificaremos mais à frente), isso não torna t=0 ponto do domínio da função original definida por t\ln t. Se alguém quiser estender f por continuidade pode definir f(0)=0, mas isso seria criar uma nova função estendida — aqui o domínio pedido é o da expressão original, portanto (0,\infty).

Passo 3

Raízes de f e paridade/ímparidade.
Procuramos t tais que t\ln t=0. Uma multiplicação é zero se um dos fatores é zero. Temos duas possibilidades formais:
  • t=0, ou
  • \ln t = 0.
A condição \ln t=0 equivale a t=1. Contudo t=0 não pertence ao domínio (0,\infty). Portanto a única raiz dentro do domínio é
t=1,
com f(1)=0.
Sobre paridade/ímparidade: para uma função ser par é necessário que o domínio seja simétrico em relação a zero (ou seja, se t está no domínio então -t também) e que f(-t)=f(t). Aqui o domínio é (0,\infty), não simétrico, portanto não faz sentido ter paridade clássica; de fato f não é nem par nem ímpar. Conclusão: a única raiz no domínio é t=1 e f não é par nem ímpar.

Passo 4

Assíntotas verticais: definição breve e análise.
Definição prática: uma reta vertical t=a é assíntota vertical se a é ponto limite do domínio onde a função tende para +\infty ou -\infty. No nosso caso o único limite de borda finito do domínio é t\to 0^+ (porque o domínio começa em 0). Vamos estudar \lim_{t\to0^+} t\ln t.
Cálculo do limite \lim_{t\to0^+} t\ln t. Duas formas didáticas:
  • Substituição exponencial: escreva t=e^{-u}. Quando t\to0^+ tem-se u\to+\infty. Então
t\ln t = e^{-u}\cdot\ln(e^{-u}) = e^{-u}\cdot(-u) = -u\,e^{-u}.
Como e^{u} cresce muito mais rápido que u, tem-se -u e^{-u}\to 0. Logo o limite é 0.
  • Ou usando l’Hôpital (forma clássica): escreva
t\ln t = \frac{\ln t}{1/t}.
Quando t\to0^+ o numerador tende a -\infty e o denominador a +\infty, situação \frac{-\infty}{+\infty}. Aplicando l’Hôpital:
\lim_{t\to0^+}\frac{\ln t}{1/t}=\lim_{t\to0^+}\frac{(1/t)}{(-1/t^2)}=\lim_{t\to0^+} -t = 0.
Conclusão: \lim_{t\to0^+} t\ln t = 0, valor finito. Portanto não existe comportamento de divergência vertical em t=0. Não há outros pontos limites finitos do domínio. Assim não há assíntotas verticais. Resumo: nenhuma assíntota vertical.

Passo 5

Assíntotas horizontais: definição e análise.
Uma assíntota horizontal é uma reta y=L tal que \lim_{t\to\pm\infty} f(t)=L. Nosso domínio é (0,\infty), então só podemos considerar o limite t\to+\infty (não existe t\to-\infty no domínio).
Estudando \lim_{t\to+\infty} t\ln t. Sabemos que \ln t\to+\infty e t\to+\infty, então o produto diverge para +\infty. Mais rigoroso: \ln t cresce mais devagar que qualquer potência de t, mas t\ln t tende a +\infty. Portanto não existe limite finito; não há assíntota horizontal para t\to+\infty.
Observação sobre t\to0^+: embora \lim_{t\to0^+} f(t)=0, esse limite não é do tipo t\to\pm\infty, logo não se chama assíntota horizontal no sentido clássico (assíntotas horizontais referem-se a comportamento em \pm\infty). Conclusão: nenhuma assíntota horizontal.

Passo 6

Derivada e intervalos de crescimento/decrescimento — cálculo da derivada com explicação.
Vamos diferenciar \;f(t)=t\ln t\;. É um produto de duas funções: u(t)=t e v(t)=\ln t. A regra do produto diz que
(fg)' = f'g + fg'.
Tomando f=t (cuja derivada é 1) e g=\ln t (cuja derivada é 1/t), obtemos
f'(t) = 1\cdot\ln t + t\cdot\frac{1}{t} = \ln t + 1.
Interpretação: a derivada f'(t) nos diz se a função cresce ( f'>0) ou decresce ( f'<0) em cada ponto.
Resolver f'(t)=0:
\ln t + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ln t = -1 \quad\Longrightarrow\quad t = e^{-1} = \frac{1}{e}.
Agora analisar o sinal de f'(t)=\ln t + 1:
  • Para 0<t<\frac{1}{e} temos \ln t < -1, logo f'(t)<0: a função é decrescente nesse intervalo.
  • Para t>\frac{1}{e} temos \ln t > -1, logo f'(t)>0: a função é crescente nesse intervalo.
Portanto:
  • f é decrescente em \left(0,\dfrac{1}{e}\right).
  • f é crescente em \left(\dfrac{1}{e},\infty\right).

Passo 7

Extremos: encontrar mínimo/máximo e classificar (relativo/absoluto).
Temos uma única crítica obtida de f'(t)=0 em t=\dfrac{1}{e}. Pelo teste da primeira derivada, a derivada passa de negativa para positiva em t=1/e, portanto t=1/e é um ponto de mínimo local.
Calcule o valor em t=1/e:
f\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\ln\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\cdot(-1)=-\frac{1}{e}.
Classificação absoluta: como \lim_{t\to0^+} f(t)=0 e \lim_{t\to+\infty} f(t)=+\infty, e o valor em t=1/e é -1/e que é menor que qualquer destes limites, esse mínimo em \left(\dfrac{1}{e},-\dfrac{1}{e}\right) é na verdade mínimo absoluto (global) em todo o domínio (0,\infty).
Não existe máximo (nem local nem global) porque a função cresce para +\infty quando t\to+\infty.

Passo 8

Segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão.
Compute a segunda derivada: a primeira derivada é f'(t)=\ln t + 1. Derivando novamente:
f''(t) = \frac{d}{dt}(\ln t + 1)=\frac{1}{t}.
Análise do sinal de f''(t) no domínio (0,\infty):
  • Para todo t>0 tem-se f''(t)=\dfrac{1}{t}>0.
Conclusões:
  • A função é côncava para cima em todo o domínio (0,\infty) (já que a segunda derivada é positiva em todo lado).
  • Não existem pontos de inflexão, porque a concavidade não muda de sinal em nenhum ponto do domínio.

Passo 9

Resumo das informações e preparação do esboço do gráfico (o que marcar no desenho).
Pontos e comportamentos notáveis a indicar no esboço:
  • Domínio: (0,\infty).
  • Limite quando t\to0^+: \lim_{t\to0^+} f(t)=0. Isso indica que a curva se aproxima de y=0 ao se aproximar de t=0 pela direita, atingindo valores negativos próximos a zero.
  • Raiz: f(1)=0. Ponto \,(1,0).
  • Mínimo absoluto: \displaystyle\left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right). Numericamente, \dfrac{1}{e}\approx 0{,}3679 e -\dfrac{1}{e}\approx -0{,}3679.
  • Comportamento para t\to+\infty: f(t)\to+\infty (cresce indefinidamente).
  • Crescimento/decrescimento: decresce em \left(0,\dfrac{1}{e}\right), cresce em \left(\dfrac{1}{e},\infty\right).
  • Concavidade: côncava para cima em todo (0,\infty).
  • Não há assíntotas verticais nem horizontais.
Ao desenhar: começar próximo de t=0^+ com y próximo de 0 por baixo (valores negativos pequenos), a curva desce até (1/e,-1/e) e então sobe atravessando (1,0) e continuando para +\infty, sempre curvando para cima.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Raízes e paridade: raiz em t=1; f não é par nem ímpar.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma (não há limite finito quando t\to+\infty).
Intervalos de crescimento/decrescimento: f é decrescente em \left(0,\dfrac{1}{e}\right) e crescente em \left(\dfrac{1}{e},\infty\right).
Extremos: mínimo absoluto em t=\dfrac{1}{e} com valor f\!\left(\dfrac{1}{e}\right)=-\dfrac{1}{e}; não há máximo.
Concavidade e pontos de inflexão: côncava para cima em (0,\infty); não há pontos de inflexão.
Pontos notáveis para o esboço: \displaystyle\left(\frac{1}{e},-\frac{1}{e}\right) (mínimo absoluto), (1,0) (raiz), e \lim_{t\to0^+}f(t)=0 (aproximação à ordenada y=0 pela direita).

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