Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede, sucessivamente:
- determinar o domínio de
; - (opcional) determinar as raízes de
(se houver) e se é par, ímpar ou nenhuma das duas; - obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a ausência);
- obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a ausência);
- encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
; - determinar pontos de máximo ou mínimo (e se são absolutos ou relativos);
- determinar intervalos de concavidade para cima/baixo e pontos de inflexão;
- esboçar o gráfico indicando pontos notáveis obtidos.
Informações explícitas dadas: a fórmula da função é
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Explicando o que impede que um número
esteja no domínio: a função
só é definida para argumentos positivos. Assim, para que
faça sentido, é necessário ter
definido, isto é,
.
Portanto o domínio natural (pelo enunciado) é
Observação didática: embora exista o limite
(verificaremos mais à frente), isso não torna
ponto do domínio da função original definida por
. Se alguém quiser estender
por continuidade pode definir
, mas isso seria criar uma nova função estendida — aqui o domínio pedido é o da expressão original, portanto
.
Passo 3
Raízes de
e paridade/ímparidade.
Procuramos
tais que
. Uma multiplicação é zero se um dos fatores é zero. Temos duas possibilidades formais:
-
, ou -
.
A condição
equivale a
. Contudo
não pertence ao domínio
. Portanto a única raiz dentro do domínio é
com
.
Sobre paridade/ímparidade: para uma função ser par é necessário que o domínio seja simétrico em relação a zero (ou seja, se
está no domínio então
também) e que
. Aqui o domínio é
, não simétrico, portanto não faz sentido ter paridade clássica; de fato
não é nem par nem ímpar. Conclusão: a única raiz no domínio é
e
não é par nem ímpar.
Passo 4
Assíntotas verticais: definição breve e análise.
Definição prática: uma reta vertical
é assíntota vertical se
é ponto limite do domínio onde a função tende para
ou
. No nosso caso o único limite de borda finito do domínio é
(porque o domínio começa em
). Vamos estudar
.
Cálculo do limite
. Duas formas didáticas:
- Substituição exponencial: escreva
. Quando tem-se . Então
Como
cresce muito mais rápido que
, tem-se
. Logo o limite é
.
- Ou usando l’Hôpital (forma clássica): escreva
Quando
o numerador tende a
e o denominador a
, situação
. Aplicando l’Hôpital:
Conclusão:
, valor finito. Portanto não existe comportamento de divergência vertical em
. Não há outros pontos limites finitos do domínio. Assim não há assíntotas verticais. Resumo: nenhuma assíntota vertical.
Passo 5
Assíntotas horizontais: definição e análise.
Uma assíntota horizontal é uma reta
tal que
. Nosso domínio é
, então só podemos considerar o limite
(não existe
no domínio).
Estudando
. Sabemos que
e
, então o produto diverge para
. Mais rigoroso:
cresce mais devagar que qualquer potência de
, mas
tende a
. Portanto não existe limite finito; não há assíntota horizontal para
.
Observação sobre
: embora
, esse limite não é do tipo
, logo não se chama assíntota horizontal no sentido clássico (assíntotas horizontais referem-se a comportamento em
). Conclusão: nenhuma assíntota horizontal.
Passo 6
Derivada e intervalos de crescimento/decrescimento — cálculo da derivada com explicação.
Vamos diferenciar
. É um produto de duas funções:
e
. A regra do produto diz que
Tomando
(cuja derivada é
) e
(cuja derivada é
), obtemos
Interpretação: a derivada
nos diz se a função cresce (
) ou decresce (
) em cada ponto.
Resolver
:
Agora analisar o sinal de
:
- Para
temos , logo : a função é decrescente nesse intervalo. - Para
temos , logo : a função é crescente nesse intervalo.
Portanto:
-
é decrescente em . -
é crescente em .
Passo 7
Extremos: encontrar mínimo/máximo e classificar (relativo/absoluto).
Temos uma única crítica obtida de
em
. Pelo teste da primeira derivada, a derivada passa de negativa para positiva em
, portanto
é um ponto de mínimo local.
Calcule o valor em
:
Classificação absoluta: como
e
, e o valor em
é
que é menor que qualquer destes limites, esse mínimo em
é na verdade mínimo absoluto (global) em todo o domínio
.
Não existe máximo (nem local nem global) porque a função cresce para
quando
.
Passo 8
Segunda derivada, concavidade e pontos de inflexão.
Compute a segunda derivada: a primeira derivada é
. Derivando novamente:
Análise do sinal de
no domínio
:
- Para todo
tem-se .
Conclusões:
- A função é côncava para cima em todo o domínio
(já que a segunda derivada é positiva em todo lado). - Não existem pontos de inflexão, porque a concavidade não muda de sinal em nenhum ponto do domínio.
Passo 9
Resumo das informações e preparação do esboço do gráfico (o que marcar no desenho).
Pontos e comportamentos notáveis a indicar no esboço:
- Domínio:
. - Limite quando
: . Isso indica que a curva se aproxima de ao se aproximar de pela direita, atingindo valores negativos próximos a zero. - Raiz:
. Ponto . - Mínimo absoluto:
. Numericamente, e . - Comportamento para
: (cresce indefinidamente). - Crescimento/decrescimento: decresce em
, cresce em . - Concavidade: côncava para cima em todo
. - Não há assíntotas verticais nem horizontais.
Ao desenhar: começar próximo de
com
próximo de
por baixo (valores negativos pequenos), a curva desce até
e então sobe atravessando
e continuando para
, sempre curvando para cima.
Resposta
Domínio:
Raízes e paridade: raiz em ;
não é par nem ímpar.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma (não há limite finito quando ).
Intervalos de crescimento/decrescimento: é decrescente em
e crescente em
.
Extremos: mínimo absoluto em com valor
; não há máximo.
Concavidade e pontos de inflexão: côncava para cima em ; não há pontos de inflexão.
Pontos notáveis para o esboço: (mínimo absoluto),
(raiz), e
(aproximação à ordenada
pela direita).
Raízes e paridade: raiz em
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: nenhuma (não há limite finito quando
Intervalos de crescimento/decrescimento:
Extremos: mínimo absoluto em
Concavidade e pontos de inflexão: côncava para cima em
Pontos notáveis para o esboço: