Considere a seguinte função: \operatorname{sech}(x)=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
  • Determine o domínio de f.
  • (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
  • Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
  • Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
  • Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
  • Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de f (se houver).
  • Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
\operatorname{sech}(x)=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}.
As perguntas que devemos responder, sucessivamente, são:
  • Determinar o domínio de f.
  • (Opcional) Determinar as raízes de f (se houver) e verificar se f é par ou ímpar (ou nenhuma das opções).
  • Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a inexistência).
  • Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a inexistência).
  • Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.
  • Determinar os pontos do domínio onde f tem máximo ou mínimo e dizer se são relativos ou absolutos.
  • Determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo) e os pontos de inflexão (se houver).
  • Usar todas as informações para esboçar o gráfico, indicando coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Informações relevantes dadas: a definição explícita \operatorname{sech}(x)=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}. Nada mais foi dado.

Passo 2

Primeiro, uma forma equivalente e muito útil é expressar \operatorname{sech} em termos de \operatorname{cosh}. Lembrando que
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2},
temos
\operatorname{sech}(x)=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(x)}.
Essa forma é conveniente porque conhecemos propriedades básicas de \operatorname{cosh}:
  • \operatorname{cosh}(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • \operatorname{cosh}(x)\ge 1 para todo x\in\mathbb{R} e \operatorname{cosh}(0)=1.
Com isso, para o domínio: como o denominador \operatorname{cosh}(x) nunca é zero e está definido para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que o domínio de f é todo o conjunto dos números reais:
\text{Dom}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Raízes e sinal. Pela forma \operatorname{sech}(x)=1/\operatorname{cosh}(x) e sabendo que \operatorname{cosh}(x)\ge 1, obtemos \operatorname{sech}(x)\in(0,1] para todo x. Em particular, \operatorname{sech}(x)>0 sempre, logo não há raízes (não existe x tal que \operatorname{sech}(x)=0). O valor máximo 1 ocorre em x=0.
Paridade. Como \operatorname{cosh}(x) é uma função par ( \operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh}(x)), tem-se
\operatorname{sech}(-x)=\frac{1}{\operatorname{cosh}(-x)}=\frac{1}{\operatorname{cosh}(x)}=\operatorname{sech}(x).
Logo \operatorname{sech} é uma função par.

Passo 4

Assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a \pm\infty em um ponto finito do domínio por aproximação do denominador a zero. Aqui o denominador \operatorname{cosh}(x) nunca é zero e é sempre maior ou igual a 1. Assim não existe ponto em que a função exploda para \pm\infty. Portanto não há assíntotas verticais.

Passo 5

Assíntotas horizontais. Precisamos avaliar os limites quando x\to+\infty e x\to-\infty.
Usando \operatorname{sech}(x)=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}, para x\to+\infty temos e^{x} dominando e^{-x}, então
\lim_{x\to+\infty}\operatorname{sech}(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}+e^{-x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{2}{e^{x}\bigl(1+e^{-2x}\bigr)}=0.
Para x\to-\infty trocando papéis, e^{-x} domina e^{x} e igualmente
\lim_{x\to-\infty}\operatorname{sech}(x)=0.
Portanto há uma assíntota horizontal única:
y=0.
Observação: a função se aproxima de 0 por cima (valores positivos) em ambas as extremidades.

Passo 6

Derivada primeira — monotonicidade. Vamos derivar a função a partir de \operatorname{sech}(x)=1/\operatorname{cosh}(x). Usando regra do quociente ou regra da cadeia, considere f(x)=\operatorname{cosh}(x)^{-1}. Então
f'(x)=-1\cdot\operatorname{cosh}(x)^{-2}\cdot\operatorname{sinh}(x) = -\frac{\operatorname{sinh}(x)}{\operatorname{cosh}^{2}(x)}.
Podemos também escrever, usando funções hiperbólicas padrão,
f'(x)=-\operatorname{sech}(x)\,\operatorname{tanh}(x),
pois \operatorname{tanh}(x)=\operatorname{sinh}(x)/\operatorname{cosh}(x) e \operatorname{sech}(x)=1/\operatorname{cosh}(x).
Agora o sinal de f'. Sabemos que \operatorname{sinh}(x) é negativa para x<0, nula em x=0 e positiva para x>0. Como \operatorname{cosh}^{2}(x)>0 sempre, o sinal de f' é oposto ao sinal de \operatorname{sinh}(x):
  • Para x<0: \operatorname{sinh}(x)<0 f'(x)>0.
  • Para x=0: f'(0)=0.
  • Para x>0: \operatorname{sinh}(x)>0 f'(x)<0.
Portanto f é crescente em (-\infty,0) e decrescente em (0,\infty). O ponto crítico x=0 é um máximo. Como \operatorname{sech}(0)=1 e 1 é o maior valor possível (a função varia em (0,1]), esse máximo em x=0 é absoluto. Não há mínimos absolutos atingidos, pois a função tende a 0 quando x\to\pm\infty mas nunca atinge 0.

Passo 7

Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão. Partimos de f'(x)=-\operatorname{sinh}(x)\operatorname{cosh}^{-2}(x). Derivando novamente (produto/ regra da cadeia), obtém-se
f''(x)=-\operatorname{cosh}(x)\operatorname{cosh}^{-2}(x) -\operatorname{sinh}(x)\cdot\bigl(-2\operatorname{cosh}^{-3}(x)\operatorname{sinh}(x)\bigr).
Simplificando:
f''(x)=-\operatorname{cosh}^{-1}(x) + 2\frac{\operatorname{sinh}^{2}(x)}{\operatorname{cosh}^{3}(x)}.
Colocando sob um denominador comum e usando \operatorname{sinh}^{2}(x)=\operatorname{cosh}^{2}(x)-1, resulta
f''(x)=\frac{\operatorname{cosh}^{2}(x)-2}{\operatorname{cosh}^{3}(x)}.
Uma forma alternativa, útil para analisar o sinal, é
f''(x)=\operatorname{sech}(x)\bigl(2\operatorname{tanh}^{2}(x)-1\bigr),
pois \operatorname{sech}(x)=1/\operatorname{cosh}(x) e \operatorname{tanh}^{2}(x)=1-\operatorname{sech}^{2}(x).
Para determinar pontos de inflexão, resolvemos f''(x)=0. Pelo numerador,
\operatorname{cosh}^{2}(x)-2=0 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{cosh}(x)=\sqrt{2}.
Como \operatorname{cosh}(x) é par e cresce para |x| grande, as soluções são x=\pm a com
a=\operatorname{arccosh}(\sqrt{2})=\ln\!\bigl(\sqrt{2}+\sqrt{2-1}\,\bigr)=\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).
Nos pontos x=\pm a o valor de f é
f(\pm a)=\operatorname{sech}(a)=\frac{1}{\operatorname{cosh}(a)}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Assim os pontos de inflexão são
\bigl(\pm\ln(1+\sqrt{2}),\;\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Agora o sinal de f'':
  • Para |x|<a, tem-se \operatorname{cosh}^{2}(x)<2 f''(x)<0: concavidade para baixo (côncavo para baixo) em (-\!a,a).
  • Para |x|>a, tem-se \operatorname{cosh}^{2}(x)>2 f''(x)>0: concavidade para cima (côncavo para cima) em (-\infty,-\!a)\cup(a,\infty).

Passo 8

Resumo dos extremos e natureza:
  • Máximo absoluto: em x=0, valor f(0)=1. É também máximo relativo.
  • Mínimos: não existem mínimos absolutos atingidos; o ínfimo é 0 (não atingido). Não há mínimos relativos.

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição com pontos notáveis). Características a serem marcadas no esboço:
  • Domínio: toda a reta real.
  • Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo y).
  • Máximo absoluto: ponto (0,1).
  • Pontos de inflexão: \bigl(\pm\ln(1+\sqrt{2}),\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
  • Assíntota horizontal: y=0 (a função decai para 0 em ambas as extremidades).
  • Crescimento/decrescimento: cresce em (-\infty,0), decresce em (0,\infty).
  • Concavidade: côncavo para cima em (-\infty,-\ln(1+\sqrt{2})) e em (\ln(1+\sqrt{2}),\infty); côncavo para baixo em (-\ln(1+\sqrt{2}),\ln(1+\sqrt{2})).
No esboço, desenhar uma curva em forma de “campainha suave” simétrica em torno do eixo y, máxima em (0,1), cruzando o nível \tfrac{1}{\sqrt{2}} nos pontos x=\pm\ln(1+\sqrt{2}) com mudança de concavidade aí, e aproximando-se do eixo y=0 sem tocar quando |x|\to\infty.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Raízes: nenhuma (não existe x tal que \operatorname{sech}(x)=0).
Paridade: f é par.
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais: y=0.
Intervalos de crescimento/decrescimento: crescente em (-\infty,0); decrescente em (0,\infty).
Extremos: máximo absoluto (e relativo) em (0,1). Não há mínimo atingido (ínfimo 0, não atingido).
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para cima em (-\infty,-\ln(1+\sqrt{2}))\cup(\ln(1+\sqrt{2}),\infty); côncavo para baixo em (-\ln(1+\sqrt{2}),\ln(1+\sqrt{2})). Pontos de inflexão em \bigl(\pm\ln(1+\sqrt{2}),\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).

Exercícios relacionados