Considere a seguinte função:
.
Para esta função, resolva, sucessivamente, as seguintes questões:
- Determine o domínio de f.
- (Opcional) determine as raízes de f (se houver), e determine se f é par ou ímpar, o nenhuma destas opções.
- Obtenha as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Obtenha as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de f, ou justifique a não existência de tais retas.
- Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
- Determine os valores do domínio de f de máximo ou mínimo (se houver). Ainda, determine se tais valores são absolutos ou relativos (por convenção, “relativo” significa “relativo, mas não absoluto”).
- Determine os intervalos para os quais o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Determine ainda os pontos de inflexão do gráfico de
(se houver).
- Aproveitando todas as informações coletadas nos itens anteriores esboce o gráfico de f. Deve indicar as coordenadas dos pontos notáveis obtidos nos itens anteriores.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
As perguntas que devemos responder, sucessivamente, são:
- Determinar o domínio de
. - (Opcional) Determinar as raízes de
(se houver) e verificar se é par ou ímpar (ou nenhuma das opções). - Obter as equações das assíntotas verticais (ou justificar a inexistência).
- Obter as equações das assíntotas horizontais (ou justificar a inexistência).
- Encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento de
. - Determinar os pontos do domínio onde
tem máximo ou mínimo e dizer se são relativos ou absolutos. - Determinar os intervalos de concavidade (côncavo para cima/baixo) e os pontos de inflexão (se houver).
- Usar todas as informações para esboçar o gráfico, indicando coordenadas dos pontos notáveis encontrados.
Informações relevantes dadas: a definição explícita
. Nada mais foi dado.
Passo 2
Primeiro, uma forma equivalente e muito útil é expressar
em termos de
. Lembrando que
temos
Essa forma é conveniente porque conhecemos propriedades básicas de
:
-
para todo . -
para todo e .
Com isso, para o domínio: como o denominador
nunca é zero e está definido para todo
, concluímos que o domínio de
é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Raízes e sinal. Pela forma
e sabendo que
, obtemos
para todo
. Em particular,
sempre, logo não há raízes (não existe
tal que
). O valor máximo
ocorre em
.
Paridade. Como
é uma função par (
), tem-se
Logo
é uma função par.
Passo 4
Assíntotas verticais. Assíntotas verticais ocorrem quando a função tende a
em um ponto finito do domínio por aproximação do denominador a zero. Aqui o denominador
nunca é zero e é sempre maior ou igual a
. Assim não existe ponto em que a função exploda para
. Portanto não há assíntotas verticais.
Passo 5
Assíntotas horizontais. Precisamos avaliar os limites quando
e
.
Usando
, para
temos
dominando
, então
Para
trocando papéis,
domina
e igualmente
Portanto há uma assíntota horizontal única:
Observação: a função se aproxima de
por cima (valores positivos) em ambas as extremidades.
Passo 6
Derivada primeira — monotonicidade. Vamos derivar a função a partir de
. Usando regra do quociente ou regra da cadeia, considere
. Então
Podemos também escrever, usando funções hiperbólicas padrão,
pois
e
.
Agora o sinal de
. Sabemos que
é negativa para
, nula em
e positiva para
. Como
sempre, o sinal de
é oposto ao sinal de
:
- Para
: ⇒ . - Para
: . - Para
: ⇒ .
Portanto
é crescente em
e decrescente em
. O ponto crítico
é um máximo. Como
e
é o maior valor possível (a função varia em
), esse máximo em
é absoluto. Não há mínimos absolutos atingidos, pois a função tende a
quando
mas nunca atinge
.
Passo 7
Derivada segunda — concavidade e pontos de inflexão. Partimos de
. Derivando novamente (produto/ regra da cadeia), obtém-se
Simplificando:
Colocando sob um denominador comum e usando
, resulta
Uma forma alternativa, útil para analisar o sinal, é
pois
e
.
Para determinar pontos de inflexão, resolvemos
. Pelo numerador,
Como
é par e cresce para
grande, as soluções são
com
Nos pontos
o valor de
é
Assim os pontos de inflexão são
Agora o sinal de
:
- Para
, tem-se ⇒ : concavidade para baixo (côncavo para baixo) em . - Para
, tem-se ⇒ : concavidade para cima (côncavo para cima) em .
Passo 8
Resumo dos extremos e natureza:
- Máximo absoluto: em
, valor . É também máximo relativo. - Mínimos: não existem mínimos absolutos atingidos; o ínfimo é
(não atingido). Não há mínimos relativos.
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição com pontos notáveis). Características a serem marcadas no esboço:
- Domínio: toda a reta real.
- Paridade: função par (simétrica em relação ao eixo
). - Máximo absoluto: ponto
. - Pontos de inflexão:
. - Assíntota horizontal:
(a função decai para em ambas as extremidades). - Crescimento/decrescimento: cresce em
, decresce em . - Concavidade: côncavo para cima em
e em ; côncavo para baixo em .
No esboço, desenhar uma curva em forma de “campainha suave” simétrica em torno do eixo
, máxima em
, cruzando o nível
nos pontos
com mudança de concavidade aí, e aproximando-se do eixo
sem tocar quando
.
Resposta
Domínio:
.
Raízes: nenhuma (não existe
tal que
).
Paridade: é par.
Paridade:
Assíntotas verticais: nenhuma.
Assíntotas horizontais:
.
Intervalos de crescimento/decrescimento: crescente em
; decrescente em
.
Extremos: máximo absoluto (e relativo) em
. Não há mínimo atingido (ínfimo
, não atingido).
Concavidade e pontos de inflexão: côncavo para cima em
; côncavo para baixo em
. Pontos de inflexão em
.