Considere a seguinte função de onda, definida por partes:
psi(x)= 0, & x<0 c e^-x / L, & x >= 0
Onde c é uma constante a ser determinada.
a) Determine o valor da constante de normalização c.
b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x >= L.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de onda, que é zero para x < 0 e igual a c e^-x / L para x >= 0 . O objetivo é:
a) Encontrar o valor da constante de normalização c .
b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x >= L .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 dx = 1
No nosso caso, a função psi(x) é zero para x < 0 , então a integral fica apenas de 0 a infty :
integral0^infty |c e^-x / L|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular essa integral. Primeiro, elevamos ao quadrado a função de onda:
|c e^-x / L|^2 = c^2 e^-2x / L
Agora, integramos:
c^2 integral0^infty e^-2x / L dx = 1
A integral de e^-2x / L em relação a x de 0 a infty é:
integral0^infty e^-2x / L dx = L2
Então, substituindo:
c^2 cdot L2 = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver para c :
c^2 = 2L
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (e considerando c positivo):
c = raiz2L

Passo 5

Agora que temos c , vamos para a segunda parte do exercício: calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x >= L .
A probabilidade é dada por:
P(x >= L) = integralL^infty |psi(x)|^2 dx
Substituindo psi(x) :
P(x >= L) = integralL^infty c^2 e^-2x / L dx

Passo 6

Usando o valor de c = raiz2L :
P(x >= L) = 2L integralL^infty e^-2x / L dx
Calculando a integral:
integralL^infty e^-2x / L dx = L2 e^-2L / L = L2 e^-2
Substituindo de volta:
P(x >= L) = 2L cdot L2 e^-2 = e^-2

Resposta

a) A constante de normalização é c = raizdfrac2L .
b) A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo x >= L é e^-2 (aproximadamente 0,1353 ou 13,53 %).

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