Considere a seguinte função de onda, definida por partes:
Onde
é uma constante a ser determinada.
a) Determine o valor da constante de normalização
.
b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
a) Determine o valor da constante de normalização
b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função de onda, que é zero para
e igual a
para
. O objetivo é:
a) Encontrar o valor da constante de normalização
.
b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo .
b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1:
No nosso caso, a função
é zero para
, então a integral fica apenas de
a
:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. Primeiro, elevamos ao quadrado a função de onda:
Agora, integramos:
A integral de
em relação a
de 0 a
é:
Então, substituindo:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Tomando a raiz quadrada dos dois lados (e considerando
positivo):
Passo 5
Agora que temos
, vamos para a segunda parte do exercício: calcular a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
.
A probabilidade é dada por:
Substituindo
:
Passo 6
Usando o valor de
:
Calculando a integral:
Substituindo de volta:
Resposta
a) A constante de normalização é
.
b) A probabilidade de encontrar a partícula no intervalo
é
(aproximadamente 0,1353 ou 13,53 %).