Considere a seguinte função de transferência, G(s)=\frac{10}{\left(s^{2}+2 s+10\right)}. Obtenha a frequencia natural, analisar o tipo de resposta, calcular o sobre-sinal, o tempo de pico o tempo de acomodação e obter a resposta ao degrau unitário.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de segunda ordem
G(s)=\frac{10}{s^{2}+2s+10}
e pede para obter a frequência natural, identificar o tipo de resposta, calcular o sobre-sinal, o tempo de pico, o tempo de acomodação e a resposta ao degrau unitário. Vamos usar a forma padrão da função de segunda ordem e as fórmulas conhecidas para respostas subamortecidas.

Passo 2

Reescrevemos o denominador na forma padrão
s^{2}+2s+10 = s^{2} + 2\zeta\omega_{n}s + \omega_{n}^{2}.
Comparando coeficientes, temos
\omega_{n}^{2}=10 \quad\Longrightarrow\quad \omega_{n}=\sqrt{10},
2\zeta\omega_{n}=2 \quad\Longrightarrow\quad \zeta=\frac{2}{2\omega_{n}}=\frac{1}{\omega_{n}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Passo 3

Como 0<\zeta<1, a resposta ao degrau é subamortecida (oscilatória amortecida).

Passo 4

Para resposta subamortecida, o sobre-sinal percentual é dado por
M_{p} = \exp\!\Bigl(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\Bigr)
e o tempo de pico é
t_{p} = \frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Substituindo \omega_{n}=\sqrt{10} e \zeta=1/\sqrt{10}, computamos numericamente
M_{p}\approx e^{-\,\frac{(1/\sqrt{10})\pi}{\sqrt{1-1/10}}}\approx 0{,}3513\quad(\text{35,13\%}),
t_{p}\approx \frac{\pi}{\sqrt{10}\,\sqrt{1-1/10}}\approx 1{,}047\\ \text{s}.

Passo 5

O tempo de acomodação (2% de banda) é aproximado por
t_{s}\approx \frac{4}{\zeta\,\omega_{n}}
e assim
t_{s}\approx \frac{4}{(1/\sqrt{10})\,\sqrt{10}}=4{,}0\\ \text{s}.

Passo 6

A resposta ao degrau unitário de um sistema subamortecido e com ganho DC igual a 1 é
y(t)=1 - \frac{1}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\,e^{-\zeta\omega_{n}t} \sin\bigl(\omega_{d}t+\varphi\bigr),
onde
\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}, \quad \varphi=\operatorname{arccos}(\zeta).
Substituindo nossos valores, temos \omega_{d}=\sqrt{10}\sqrt{1-1/10}=\sqrt{9}=3 e \varphi=\operatorname{arccos}(1/\sqrt{10}).

Resposta

\omega_{n}=\sqrt{10}\approx 3{,}1623\ \zeta=1/\sqrt{10}\approx 0{,}3162\
Tipo de resposta: subamortecida (oscilações amortecidas)\
Sobre-sinal M_{p}\approx 35{,}13\%\
Tempo de pico t_{p}\approx 1{,}047\\ \text{s}\
Tempo de acomodação (2 %) t_{s}\approx 4{,}0\\ \text{s}\
Resposta ao degrau unitário:
y(t)=1 - \frac{1}{\sqrt{1-1/10}}\,e^{-\,(1/\sqrt{10})\,\sqrt{10}\,t} \sin\bigl(3t+\operatorname{arccos}(1/\sqrt{10})\bigr).

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